Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A，B，與y軸相交于點(diǎn)C. 已知A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-4,0), C(0,4).

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如果點(diǎn)P，Q在拋物線上（P點(diǎn)在對(duì)稱軸左邊），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐標(biāo)；

（3）動(dòng)點(diǎn)M在直線y=x+4上，且△ABC與△COM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；

（2）P點(diǎn)坐標(biāo)（-5，），Q點(diǎn)坐標(biāo)（3，）；

（3）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），（-3，1）．

【解析】分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得P、Q關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，根據(jù)PQ的長，可得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；

（3）根據(jù)兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得CM的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得MH的長，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解：（1）將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，

得 ，

解得 ，

∴拋物線的表達(dá)式為；

（2）PQ=2AO=8，

又PQ∥AO，即P、Q關(guān)于對(duì)稱軸x=﹣1對(duì)稱，

PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，

當(dāng)x=﹣5時(shí)，y=×(-5)2-(-5)+4=，即P（-5，）；

﹣1+4=3，即Q（3，）；

P點(diǎn)坐標(biāo)（-5，），Q點(diǎn)坐標(biāo)（3，）；

（3）∠MCO=∠CAB=45°，

①當(dāng)△MCO∽△CAB時(shí)，

，

即，

CM=．

如圖1，

過M作MH⊥y軸于H，

MH=CH=CM=，

當(dāng)x=時(shí)，y=+4=，

∴M（，）；

②當(dāng)△OCM∽△CAB時(shí)，

，

即，

解得CM=，

如圖2，

過M作MH⊥y軸于H，MH=CH=CM=3，

當(dāng)x=﹣3時(shí)，y=﹣3+4=1，

∴M（﹣3，1）

綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），（-3，1）．