Question

如圖所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上的一點，且AE⊥BD的延長線交于E，又BD平分∠ABC，求證：AE=

1

2

BD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長AE，BC交于點F，易證∠EAD=∠CBD，即可求證△ACF≌△BCD，可得AF=BD，易證△ABE≌△FBE，可得AE=EF，即可解題．

解答：證明：延長AE，BC交于點F，

∵∠EAD+∠ADE=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∠ADE=∠BDC
∴∠EAD=∠CBD，
∵在△ACF和△BCD中，

∠EAD=∠CBD AC=BC ∠ACF=∠BCD=90°

，
∴△ACF≌△BCD，（ASA）
∴AF=BD，
∵在△ABE和△FBE中，

∠ABE=∠FBE BE=BE ∠AEB=∠FEB=90°

，
∴△ABE≌△FBE，（ASA）
∴AE=EF，即AE=

1

2

AF，
∴AE=

1

2

BD．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ACF≌△BCD和△ABE≌△FBE是解題的關(guān)鍵．