【題目】正方形ABCD與正方形DEFG按如圖1放置,點A,D,G在同一條直線上,點E在CD邊上,AD=3,DE=,連接AE,CG
(1)線段AE與CC的關系為______;
(2)將正方形DEFG繞點D順時針旋轉一個銳角后,如圖2,請問(1)中的結論是否仍然成立?請說明理由
(3)在正方形DEFG繞點D順時針旋轉一周的過程中,當∠AEC=90°時,請直接寫出AE的長.
【答案】(1)AE=CG,AE⊥CG;(2)仍然成立;理由見解析;(3)AE的長為2+1或2﹣1.
【解析】
(1)延長AE交CG于點H,證△ADE≌△CDG,可得到AE=CG,∠EAD=∠GCD,再證∠CHE=90°,即可得出結論;
(2)設AE與CG交于點H,證∴△ADE≌△CDG,可得到AE=CG,∠EAD=∠GCD,再證,∠CHP=90°,即可得出結論;
(3)分兩種情況討論,當點E旋轉到線段CG上時,過點D作DM⊥AE于點M,構造等腰直角三角形DME和直角三角形ADM,可通過勾股定理分別求出ME,AM的長即可;當點E旋轉到線段CG的延長線上時,過點D作DN⊥CE于點N,構造等腰直角三角形DNE和直角三角形CND,可通過勾股定理分別求出NE,CN的長,再求出CE的長,在Rt△AEC中通過勾股定理可求出AE的長.
(1)線段AE與CG的關系為:AE=CG,AE⊥CG,
理由如下:
如圖1,延長AE交CG于點H,
∵四邊形ABCD和四邊形DGFE是正方形,
∴AD=CD,ED=GD,∠ADE=∠CDG=90°,
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴AE=CG,∠EAD=∠GCD,
∵∠EAD+∠AED=90°,∠AED=∠CEH,
∴∠GCD+∠CEH=90°,
∴∠CHE=90°,即AE⊥CG,
故答案為:AE=CG,AE⊥CG;
(2)結論仍然成立,理由如下:
如圖2,設AE與CG交于點H,
∵四邊形ABCD和四邊形DGFE是正方形,
∴AD=CD,ED=GD,∠ADC=∠EDG=90°,
∴∠ADC+∠CDE=∠EDG+∠CDE,
即∠ADE=∠CDG,
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴AE=CG,∠EAD=∠GCD,
∵∠EAD+∠APD=90°,∠APD=∠CPH,
∴∠GCD+∠CPH=90°,
∴∠CHP=90°,即AE⊥CG,
∴AE=CG,AE⊥CG,
∴①中的結論仍然成立;
(3)如圖3﹣1,當點E旋轉到線段CG上時,過點D作DM⊥AE于點M,
∵∠AEC=90°,∠DEG=45°,
∴∠AED=45°,
∴Rt△DME是等腰直角三角形,
∴ME=MD=DE=1,
在Rt△AMD中,ME=1,AD=3,
∴AM===2,
∴AE=AM+ME=2+1;
如圖3﹣2,當點E旋轉到線段CG的延長線上時,過點D作DN⊥CE于點N,
則∠END=90°,
∵∠DEN=45°,
∴∠EDN=45°,
∴Rt△DNE是等腰直角三角形,
∴NE=ND=DE=1,
在Rt△CND中,ND=1,CD=3,
∴CN===2,
∴CE=NE+CN=2+1,
∵AC=AD=3,
∴在Rt△AEC中,
AE===2﹣1,
綜上所述,AE的長為2+1或2﹣1.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,對稱軸為x=1的拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),B(2,﹣3)兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)P是拋物線上的動點,連接PO交直線AB于點Q,當Q是OP中點時,求點P的坐標;
(3)C在直線AB上,D在拋物線上,E在坐標平面內(nèi),以B,C,D,E為頂點的四邊形為正方形,直接寫出點E的坐標.
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【題目】如圖,已知點C(0,3),拋物線的頂點為A(2,0),與y軸交于點B(0,1),F在拋物線的對稱軸上,且縱坐標為1.點P是拋物線上的一個動點,過點P作PM⊥x軸于點M,交直線CF于點H,設點P的橫坐標為m.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P在直線CF下方的拋物線上,用含m的代數(shù)式表示線段PH的長,并求出線段PH的最大值及此時點P的坐標;
(3)當PF﹣PM=1時,若將“使△PCF面積為2”的點P記作“巧點”,則存在多個“巧點”,且使△PCF的周長最小的點P也是一個“巧點”,請直接寫出所有“巧點”的個數(shù),并求出△PCF的周長最小時“巧點”的坐標.
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【題目】某中學計劃根據(jù)學生的興趣愛好組建課外興趣小組,并隨機抽取了部分同學的興趣愛好進行調查,將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成下列兩幅統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中的信息,完成下列問題:
學校這次調查共抽取了 名學生;
求的值并補全條形統(tǒng)計圖;
在扇形統(tǒng)計圖中,“圍棋”所在扇形的圓心角度數(shù)為 ;
設該校共有學生名,請你估計該校有多少名學生喜歡足球.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,矩形OABC的邊O在x軸上,OC在y軸上,OA=6,OC=4,PC=BC.將矩形OABC繞點O以每秒45°的速度沿順時針方向旋轉,則第2019秒時,點P的坐標為( )
A.(3,)B.(2,﹣1)
C.(,﹣3)D.(﹣1,2)
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【題目】(10分)在Rt△ABC中,∠BAC=,D是BC的中點,E是AD的中點.過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F.
(1)求證:△AEF≌△DEB;
(2)證明四邊形ADCF是菱形;
(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCFD 的面積.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=BD,點E,F分別在AB,AD上,且AE=DF,連接BF與DE相交于點G,連接CG與BD相交于點H,下列結論:
①△AED≌△DFB;②S四邊形 BCDG=CG2;③若AF=2DF,則BG=6GF
,其中正確的結論
A.只有①②.B.只有①③.C.只有②③.D.①②③.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、D兩點,與y軸交于點B,四邊形OBCD是矩形,點A的坐標為(1,0),點B的坐標為(0,4),已知點E(m,0)是線段DO上的動點,過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P,交BC于點G,交BD于點H.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)當點P在直線BC上方時,請用含m的代數(shù)式表示PG的長度;
(3)在(2)的條件下,是否存在這樣的點P,使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似?若存在,求出此時m的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如表是我國運動員在最近六屆奧運會上所獲獎牌總數(shù)情況:
屆數(shù) | 金牌 | 銀牌 | 銅牌 | 獎牌總數(shù) |
26 | 16 | 22 | 12 | 50 |
27 | 28 | 16 | 15 | 59 |
28 | 32 | 17 | 14 | 63 |
29 | 51 | 21 | 28 | 100 |
30 | 38 | 27 | 23 | 88 |
31 | 26 | 18 | 26 | 70 |
數(shù)學小組分析了上面的數(shù)據(jù),得出這六屆奧運會我國獎牌總數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)如表所示:
統(tǒng)計量 | 平均數(shù) | 中位數(shù) |
數(shù)值 | 約為71.67 | m |
(1)上表中的中位數(shù)m的值為 ;
(2)經(jīng)過數(shù)學小組的討論,認為由于第29屆奧運會在我國北京召開,我國運動員的成績超常,所以其數(shù)據(jù)應記為極端數(shù)據(jù),在計算平均數(shù)時應該去掉,于是計算了另外五屬奧運會上我國獎總數(shù)的平均數(shù),這個平均數(shù)應該是
(3)根據(jù)上面提供的信息,預估我國運動員在2020年舉行的第32屆奧運會上將獲得多少枚獎牌,并寫出你的預估理由
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