【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+mx+2m﹣7的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0).
(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式;
(2)把﹣4<x<1時(shí)的函數(shù)圖象記為H,求此時(shí)函數(shù)y的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,將圖象H在x軸下方的部分沿x軸翻折,圖象H的其余部分保持不變,得到一個(gè)新圖象M.若直線(xiàn)y=x+b與圖象M有三個(gè)公共點(diǎn),求b的取值范圍.
【答案】(1)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=x2+2x﹣3;
(2)y的取值范圍是﹣4≤y<5;
(3)b的取值范圍是3<b<.
【解析】試題分析:(1)把點(diǎn)(1,0)代入y=x2+mx+2m﹣7即可求得m的值,從而得二次函數(shù)的解析式;(2)求出當(dāng)x=﹣1時(shí)和當(dāng)x=﹣4時(shí)時(shí)y的值,根據(jù)函數(shù)的增減性確定y的取值范圍;(3)把拋物線(xiàn)y=x2+2x﹣3的圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,則翻折部分的拋物線(xiàn)解析式為y=﹣(x+1)2+4(﹣3≤x≤1),當(dāng)直線(xiàn)y=x+b經(jīng)過(guò)(﹣3,0)時(shí),直線(xiàn)y=x+b與圖象M有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)b=3;當(dāng)直線(xiàn)y=x+b與拋物線(xiàn)y=﹣(x+1)2+4(﹣3≤x≤1)相切時(shí),直線(xiàn)y=x+b與圖象M有兩個(gè)公共點(diǎn),即﹣(x+1)2+4=x+b有相等的實(shí)數(shù)解,整理得x2+3x+b﹣3=0,△=32﹣4(b﹣3)=0,解得b=.結(jié)合圖象可得,直線(xiàn)y=x+b與圖象M有三個(gè)公共點(diǎn),b的取值范圍是3<b<.
試題解析:
(1)∵二次函數(shù)y=x2+mx+2m﹣7的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),
∴1+m+2m﹣7=0,解得m=2,
∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=x2+2x﹣3;
(2)y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
∵當(dāng)﹣4<x<﹣1時(shí),y隨x增大而減。
當(dāng)﹣1≤x<1時(shí),y隨x增大而增大,
∴當(dāng)x=﹣1,y最小=﹣4,
當(dāng)x=﹣4時(shí),y=5,
∴﹣4<x<1時(shí),y的取值范圍是﹣4≤y<5;
(3)y=x2+2x﹣3與x軸交于點(diǎn)(﹣3,0),(1,0),翻折后可得新圖象M如圖中紅色部分,
把拋物線(xiàn)y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4的圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,則翻折部分的拋物線(xiàn)解析式為y=﹣(x+1)2+4(﹣3≤x≤1),
當(dāng)直線(xiàn)y=x+b經(jīng)過(guò)(﹣3,0)時(shí),直線(xiàn)y=x+b與圖象M有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)b=3;
當(dāng)直線(xiàn)y=x+b與拋物線(xiàn)y=﹣(x+1)2+4(﹣3≤x≤1)相切時(shí),直線(xiàn)y=x+b與圖象M有兩個(gè)公共點(diǎn),
即﹣(x+1)2+4=x+b有相等的實(shí)數(shù)解,整理得x2+3x+b﹣3=0,△=32﹣4(b﹣3)=0,解得b=.
結(jié)合圖象可得,直線(xiàn)y=x+b與圖象M有三個(gè)公共點(diǎn),b的取值范圍是3<b<.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,6),且與直線(xiàn)y=x+1相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在y軸上,過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸,垂足為點(diǎn)C(4,0).
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)若P是直線(xiàn)AB上方該拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,求線(xiàn)段PE的最大值;
(3)在(2)的條件,設(shè)PC與AB相交于點(diǎn)Q,當(dāng)線(xiàn)段PC與BE相互平分時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀理解:
材料1:對(duì)于一個(gè)關(guān)于的二次三項(xiàng)式,除了可以利用配方法求請(qǐng)多項(xiàng)式的取值范圍外,愛(ài)思考的小川同學(xué)還想到了其他的方法:比如先令,然后移項(xiàng)可得:,再利用一元二次方程根的判別式來(lái)確定的取值范圍,請(qǐng)仔細(xì)閱讀下面的例子:
例:求的取值范圍:
解:令
∴
∴
∴
∴;
材料2:在學(xué)習(xí)完一元二次方程的解法后,愛(ài)思考的小川同學(xué)又想到仿造一元二次方程的解法來(lái)解決一元二次不等式的解集問(wèn)題,他的具體做法如下:
若關(guān)于的一元二次方程()有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,()
則關(guān)于的一元二次不等式()的解集為:或.
則關(guān)于的一元二次不等式()的解集為:.
請(qǐng)根據(jù)上述材料,解答下列問(wèn)題:
(1)若關(guān)于的二次三項(xiàng)式(為常數(shù))的最小值為-6,則________;
(2)求出代數(shù)式的取值范圍;
(3)若關(guān)于的代數(shù)式(其中、為常數(shù),且)的最小值為-4,最大值為7,請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的,的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,過(guò)對(duì)角線(xiàn)BD中點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交AB,CD邊于點(diǎn)E,F.
(1)求證:四邊形DEBF是平行四邊形;
(2)當(dāng)四邊形DEBF是菱形時(shí),求菱形的周長(zhǎng).
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,直接寫(xiě)出BD與EF的位置關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生手機(jī)使用情況,某學(xué)校開(kāi)展了“手機(jī)伴我健康行”主題活動(dòng),他們隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行“使用手機(jī)目的”和“每周使用手機(jī)的時(shí)間”的問(wèn)卷調(diào)查,并繪制成如圖①,②的統(tǒng)計(jì)圖,已知“查資料”的人數(shù)是40人.
使用手機(jī)的目的 每周使用手機(jī)的時(shí)間
(0~1表示大于0同時(shí)小于等于1,以此類(lèi)推)
請(qǐng)你根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題:
(1)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“玩游戲”對(duì)應(yīng)的百分比為_______,圓心角度數(shù)是度_______;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖:
(3)該校共有學(xué)生2100人,估計(jì)每周使用手機(jī)時(shí)間在2小時(shí)以上(不含2小時(shí))的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【發(fā)現(xiàn)證明】
如圖1,點(diǎn)E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.
小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,通過(guò)證明△AEF≌△AGF;從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD.
【類(lèi)比引申】
(1)如圖2,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上,∠EAF=45°,連接EF,請(qǐng)根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給你的啟示寫(xiě)出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
【聯(lián)想拓展】
(2)如圖3,如圖,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E、F在邊BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,E,F分別是等邊△ABC邊AB,AC上的點(diǎn),且AE=CF,CE,BF交于點(diǎn)P.
(1)證明:CE=BF;
(2)求∠BPC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,在一個(gè)盒子里有紅球和白球共10個(gè),它們除顏色外都相同,將它們充分搖勻后,從中隨機(jī)抽出一個(gè),記下顏色后放回.在摸球活動(dòng)中得到如下數(shù)據(jù):
摸球總次數(shù) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 350 | 400 | 450 | 500 |
摸到紅球的頻數(shù) | 17 | 32 | 44 | 64 | 78 |
| 103 | 122 | 136 | 148 |
摸到紅球的頻率 | 0.34 | 0.32 | 0.293 | 0.32 | 0.312 | 0.32 | 0.294 |
| 0.302 |
|
(1)請(qǐng)將表格中的數(shù)據(jù)補(bǔ)齊;
(2)根據(jù)上表,完成折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖;
(3)請(qǐng)你估計(jì),當(dāng)摸球次數(shù)很大時(shí),摸到紅球的頻率將會(huì)接近 (精確到0.1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】感恩節(jié)即將來(lái)臨,小王調(diào)查了初三年級(jí)部分同學(xué)在感恩節(jié)當(dāng)天將以何種方式對(duì)幫助過(guò)自己的人表達(dá)感謝,他將調(diào)查結(jié)果分為如下四類(lèi):A類(lèi)﹣﹣當(dāng)面表示感謝、B類(lèi)﹣﹣打電話(huà)表示感謝、C類(lèi)﹣﹣發(fā)短信表示感謝、D類(lèi)﹣﹣寫(xiě)書(shū)信表示感謝.他將調(diào)查結(jié)果繪制成了如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息完成下列各題:
(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)在A類(lèi)的同學(xué)中,有4人來(lái)自同一班級(jí),其中有2人主持過(guò)班會(huì).現(xiàn)準(zhǔn)備從他們4人中隨機(jī)抽出兩位同學(xué)主持感恩節(jié)主題班會(huì)課,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求抽出1人主持過(guò)班會(huì)而另一人沒(méi)主持過(guò)班會(huì)的概率.
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