解答:解:(1)設所求拋物線的解析式為:y=a(x-1)
2+4,
將點B(3,0)代入,得:a(3-1)
2+4=0
解得:a=-1,
∴解析式為:y=-(x-1)
2+4;
(2)如圖2,當MN∥AB時,
∵0=-(x-1)
2+4;
∴x
1=-1,x
2=3,
∴AB=4,
∵M(0,-1),
∴-1=-(x-1)
2+4,
解得:x
1=1+
,x
2=1-
,
∴MN=
-1≠AB,MN′=1+
≠AB,
∴此時四邊形ANMB是梯形,四邊形AMN′B是梯形,N(1-
,-1),N′(-1-
,-1),
當AM∥BN″時,
∵A(-1,0),M(0,-1),設直線AM的解析式為y=kx+b,

則
,
解得:
,
∴直線AM的解析式為y=-x-1,
∴BN″的解析式為:y=-x+d,
將B(3,0)代入得出:0=-3+d,
解得:d=3,
∴BN″的解析式為:y=-x+3,
∴聯立兩函數得:
,
解得:
,
,
∴N″的坐標為:(0,3),此時AM≠BN″,
∴四邊形AMBN″是梯形,
∴綜上所述:以B、A、M、N為頂點的四邊形是梯形,
則點N的坐標為:(0,3),(1-
,-1),(-1-
,-1);
(3)如圖3,在y軸的負半軸上取一點I,使得點F與點I關于x軸對稱,
在x軸上取一點H,連接HF、HI、HG、GD、GE,則HF=HI,點E坐標為(2,3)
∴點A(-1,0),點B(3,0),點D(0,3)
又∵拋物線的對稱軸為:直線x=1.
∴點D與點E關于PQ對稱,GD=GE 過A、E兩點的一次函數解析式為:y=x+1
∴當x=0時,y=1
∴點F坐標為(0,1)

∴DF=2
又∵點F與點I關于x軸對稱,∴點I坐標為(0,-1)
∴EI=
=
=2
,
又∵要使四邊形DFHG的周長最小,由于DF是一個定值,
∴只要使DG+GH+HI最小即可 DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有當EI為一條直線時,EG+GH+HI最小,過E(2,3)、I(0,-1)
解析式為:y=2x-1
∴當x=1時,y=1;當y=0時,x=
;
∴點G坐標為(1,1),點H坐標為(
,0)
∴四邊形DFHG的周長最小為:DF+DG+GH+HF=DF+EI=2+2
.