Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸上，且M（0，-1）．在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使以B、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；不存在，說明理由．
（3）如圖3，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)G為直線PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長最小？若存在，請畫出圖形，并求出點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)即可求得函數(shù)的解析式；
（2）分別利用當(dāng)MN∥AB時(shí)，當(dāng)AM∥BN″時(shí)，利用梯形的判定一組對(duì)邊平行不相等的四邊形是梯形進(jìn)而求出即可；
（3）在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱，在x軸上取一點(diǎn)H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF=HI，只要使DG+GH+HI最小即可 DG+GH+HF=EG+GH+HI，只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EG+GH+HI最小，求得直線EI的解析式，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，
將點(diǎn)B（3，0）代入，得：a（3-1）²+4=0
解得：a=-1，
∴解析式為：y=-（x-1）²+4；

（2）如圖2，當(dāng)MN∥AB時(shí)，
∵0=-（x-1）²+4；
∴x₁=-1，x₂=3，
∴AB=4，
∵M(jìn)（0，-1），
∴-1=-（x-1）²+4，
解得：x₁=1+

5

，x₂=1-

5

，
∴MN=

5

-1≠AB，MN′=1+

5

≠AB，
∴此時(shí)四邊形ANMB是梯形，四邊形AMN′B是梯形，N（1-

5

，-1），N′（-1-

5

，-1），
當(dāng)AM∥BN″時(shí)，
∵A（-1，0），M（0，-1），設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，
則

b=-1 -k+b=0

，
解得：

k=-1 b=-1

，
∴直線AM的解析式為y=-x-1，
∴BN″的解析式為：y=-x+d，
將B（3，0）代入得出：0=-3+d，
解得：d=3，
∴BN″的解析式為：y=-x+3，
∴聯(lián)立兩函數(shù)得：

y=-x+3 y=-(x-1)2+4

，
解得：

x1=0 y1=3

，

x2=3 y2=0

，
∴N″的坐標(biāo)為：（0，3），此時(shí)AM≠BN″，
∴四邊形AMBN″是梯形，
∴綜上所述：以B、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，
則點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（0，3），（1-

5

，-1），（-1-

5

，-1）；

（3）如圖3，在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱，
在x軸上取一點(diǎn)H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF=HI，點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，3）
∴點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)D（0，3）
又∵拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=1．
∴點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，GD=GE  過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y=x+1
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=1
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1）
∴DF=2
又∵點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)I坐標(biāo)為（0，-1）
∴EI=

DE2+DI2

=

22+42

=2

5

，
又∵要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個(gè)定值，
∴只要使DG+GH+HI最小即可 DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EG+GH+HI最小，過E（2，3）、I（0，-1）
解析式為：y=2x-1
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)y=0時(shí)，x=

1

2

；
∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)H坐標(biāo)為（

1

2

，0）
∴四邊形DFHG的周長最小為：DF+DG+GH+HF=DF+EI=2+2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法和梯形的判定等知識(shí)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法求出是解題關(guān)鍵．