Question

如圖1，矩形OABC頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，3），定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（12，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸的正方向勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，PQ兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，相遇時(shí)停止．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=

 

時(shí)，△PQR的邊QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)B；
（2）設(shè)△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖2，過(guò)定點(diǎn)E（5，0）作EF⊥BC，垂足為F，當(dāng)△PQR的頂點(diǎn)R落在矩形OABC的內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)R作x軸、y軸的平行線，分別交EF、BC于點(diǎn)M、N，若∠MAN=45°，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）△PQR的邊QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形，則有AB=AQ，由此列方程求出t的值；
（2）在圖形運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，有三種情形，需要分類討論，避免漏解；
（3）首先判定ABFE為正方形；其次通過(guò)旋轉(zhuǎn)，由三角形全等證明MN=EM+BN；設(shè)EM=m，BN=n，在Rt△FMN中，由勾股定理得到等式：mn+3（m+n）-9=0，由此等式列方程求出時(shí)間t的值．

解答：解：（1）△PQR的邊QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形，
∴AB=AQ，即3=4-t，
∴t=1．
即當(dāng)t=1秒時(shí)，△PQR的邊QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．

（2）①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，如答圖1-1所示．

設(shè)PR交BC于點(diǎn)G，
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，則CH=OP=2t，GH=PH=3．
S=S_矩形OABC-S_梯形OPGC
=8×3-

1

2

（2t+2t+3）×3
=

39

2

-6t；
②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如答圖1-2所示．

設(shè)PR交BC于點(diǎn)G，RQ交BC、AB于點(diǎn)S、T．
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，則CH=OP=2t，GH=PH=3．
QD=t，則AQ=AT=4-t，
∴BT=BS=AB-AQ=3-（4-t）=t-1．
S=S_矩形OABC-S_梯形OPGC-S_△BST
=8×3-

1

2

（2t+2t+3）×3-

1

2

（t-1）²
=-

1

2

t²-5t+19；
③當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如答圖1-3所示．

設(shè)RQ與AB交于點(diǎn)T，則AT=AQ=4-t．
PQ=12-3t，∴PR=RQ=

2

2

（12-3t）．
S=S_△PQR-S_△AQT
=

1

2

PR²-

1

2

AQ²
=

1

4

（12-3t）²-

1

2

（4-t）²
=

7

4

t²-14t+28．
綜上所述，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：
S=

39 2 -6t(0≤t≤1) - 1 2 t2-5t+19(1＜t≤2) 7 4 t2-14t+28(2＜t≤4)

．

（3）∵E（5，0），∴AE=AB=3，
∴四邊形ABFE是正方形．
如答圖2，將△AME繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABM′，其中AE與AB重合．
∵∠MAN=45°，
∴∠EAM+∠NAB=45°，
∴∠BAM′+∠NAB=45°，
∴∠MAN=∠M′AN．
連接MN．在△MAN與△M′AN中，

AM=AM′ ∠MAN=∠M′AN AN=AN

∴△MAN≌△M′AN（SAS）．
∴MN=M′N=M′B+BN
∴MN=EM+BN．

設(shè)EM=m，BN=n，則FM=3-m，F(xiàn)N=3-n．
在Rt△FMN中，由勾股定理得：FM²+FN²=MN²，即（3-m）²+（3-n）²=（m+n）²，
整理得：mn+3（m+n）-9=0．   ①
延長(zhǎng)NR交x軸于點(diǎn)S，則m=EM=RS=

1

2

PQ=

1

2

（12-3t），
∵QS=

1

2

PQ=

1

2

（12-3t），AQ=4-t，
∴n=BN=AS=QS-AQ=

1

2

（12-3t）-（4-t）=2-

1

2

t．
∴m=3n，
代入①式，化簡(jiǎn)得：n²+4n-3=0，
解得n=-2+

7

或n=-2-

7

（舍去）
∴2-

1

2

t=-2+

7

解得：t=8-2

7

．
∴若∠MAN=45°，則t的值為（8-2

7

）秒．

點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，涉及動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線，復(fù)雜度較高，難度較大．第（2）問(wèn)中，注意分類討論周全，不要遺漏；第（3）問(wèn)中，善于利用全等三角形及勾股定理，求得線段之間的關(guān)系式，最后列出方程求解．題中運(yùn)算量較大，需要認(rèn)真計(jì)算．