Question

如圖，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD+∠EDB=90°．
（1）求證：AB∥CD；
（2）H是直線CD上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），BI平分∠HBD．寫出∠EBI與∠BHD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=2∠EBD，∠BDC=2∠BDE，然后求出∠ABD+∠BDC=180°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=2∠EBD，∠HBD=2∠IBD，然后分點(diǎn)H在點(diǎn)D的左邊和右邊兩種情況，表示出∠ABH和∠EBI，從而得解．

解答：（1）證明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD=2∠EBD，∠BDC=2∠BDE，
∵∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠ABD+∠BDC=2×90°=180°，
∴AB∥CD；

（2）解：∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠EBD，
∵BI平分∠HBD，
∴∠HBD=2∠IBD，
如圖1，點(diǎn)H在點(diǎn)D的左邊時，∠ABH=∠ABD-∠HBD，
∠EBI=∠EBD-∠IBD，
∴∠ABH=2∠EBI，
∵AB∥CD，
∴∠BHD=∠ABH，
∴∠BHD=2∠EBI，
如圖2，點(diǎn)H在點(diǎn)D的右邊時，∠ABH=∠ABD+∠HBD，
∠EBI=∠EBD+∠IBD，
∴∠ABH=2∠EBI，
∵AB∥CD，
∴∠BHD=180°-∠ABH，
∴∠BHD=180°-2∠EBI，
綜上所述，∠BHD=2∠EBI或∠BHD=180°-2∠EBI．

點(diǎn)評：本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（2）分情況討論并理清圖中各角度之間的關(guān)系．