Question

如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．下列結(jié)論：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S_△FGC=3.6．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理可證BG=GC；通過(guò)證明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行線的判定可得AG∥CF；由于S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC，求得面積比較即可．

解答：解：①正確．
理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正確．
理由：
EF=DE=

1

3

CD=2，設(shè)BG=FG=x，則CG=6-x．
在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得x=3．
∴BG=3=6-3=GC；
③正確．
理由：
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
④正確．
理由：過(guò)F作FH⊥DC，
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴

EH

GC

=

EF

EG

，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比為：

FH

GC

=

EF

EG

=

2

5

，∴S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC=

1

2

×3×4-

1

2

×4×（ 

2

5

×3）=

18

5

=3.6，
故④正確．
∴正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計(jì)算等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．