【題目】綜合與實踐:

發(fā)現(xiàn)問題:

如圖,已知:OAB中,OB=3,將OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°OAB,連接BB

則BB=

問題探究:

如圖,已知ABC是邊長為4的等邊三角形,以BC為邊向外作等邊BCD,P為ABC內(nèi)一點,將線段CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°,P的對應(yīng)點為Q.

(1)求證:DCQ≌△BCP

(2)求PA+PB+PC的最小值.

實際應(yīng)用:

如圖,某貨運(yùn)場為一個矩形場地ABCD,其中AB=500米,AD=800米,頂點A、D為兩個出口,現(xiàn)在想在貨運(yùn)廣場內(nèi)建一個貨物堆放平臺P,在BC邊上(含B、C兩點)開一個貨物入口M,并修建三條專用車道PA、PD、PM.若修建每米專用車道的費(fèi)用為10000元,當(dāng)M,P建在何處時,修建專用車道的費(fèi)用最少?最少費(fèi)用為多少?

【答案】發(fā)現(xiàn)問題:3;問題探究:(1)證明參見解析;(2)12;實際應(yīng)用:M建在BC中點(BM=400米)處,點P在過M且垂直于BC的直線上,且在M上方(500)米處,最少費(fèi)用為1000000(4+5)萬元.

【解析】

試題分析:發(fā)現(xiàn)問題:根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),利用勾股定理直接求得BB'的值;問題探究:(1)由等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得到DCQ≌△BCP的條件;(2)由兩點之間線段最短得PA+PB+PC最小時的位置,用等邊三角形的性質(zhì)計算;實際應(yīng)用:先確定出最小值時的位置,當(dāng)M,P,P1,D1在同一條直線上時,AP+PM+DP最小,最小值為D1N,再用等邊三角形的性質(zhì)計算.

試題解析:發(fā)現(xiàn)問題:由旋轉(zhuǎn)角度可知BOB=90°,OB=OB'=3,根據(jù)勾股定理得,BB=3;問題探究:(1)∵△BDC是等邊三角形,CD=CB,DCB=60°,由旋轉(zhuǎn)得,PCQ=60°,PC=QC,∴∠DCQ=BCP,在DCQ和BCP中,∴△DCQ≌△BCP;(2)如圖1,連接PQ,

PC=CQ,PCQ=60°∴△CPQ是等邊三角形,PQ=PC,由(1)有,DQ=PB,PA+PB+PC=AP+PQ+QD,由兩點之間線段最短得,AP+PQ+QDAD,PA+PB+PCAD,當(dāng)點A,P,Q,D在同一條直線上時,PA+PB+PC取最小值為AD的長,作DEAB,∵△ABC為邊長是4的等邊三角形,CB=AC=4,BCA=60°,CD=CB=4,DCE=60°,DE=6,DAE=ADC=30°,AD=12,即:PA+PB+PC的最小值為12;實際應(yīng)用:如圖2,連接AM,DM,將ADP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得APD,由(2)知,當(dāng)M,P,P,D在同一條直線上時,AP+PM+DP最小,最小值為DM,M在BC上,當(dāng)DMBC時,DM取最小值,設(shè)DM交AD于E,∵△ADD是等邊三角形,EM=AB=500,BM=400,PM=EMPE=500,DE=AD=400,DM=400+500,最少費(fèi)用為10000×(400+500)=1000000(4+5)萬元;M建在BC中點(BM=400米)處,點P在過M且垂直于BC的直線上,且在M上方(500)米處,最少費(fèi)用為1000000(4+5)萬元.

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(2)從參加測試的人員中隨機(jī)抽取一人進(jìn)行技能展示,其測試結(jié)果為“優(yōu)秀”的概率為;
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