Question

【題目】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖 1，已知點(diǎn) F，G 分別在直線 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，則∠GEF 的度數(shù)為 ；

（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論并給出證明； 答：∠GEF= .

證明：過(guò)點(diǎn) E 作 EH∥AB，

∴∠FEH=∠BFE（ ），

∵AB∥CD，EH∥AB，（輔助線的作法）

∴EH∥CD（ ），

∴∠HEG=180°-∠CGE（ ），

∴∠FEG=∠HFG+∠FEH= .

（3）深入探究：如圖 2，∠BFE 的平分線 FQ 所在直線與∠CGE 的平分線相交于點(diǎn) P，試探究∠GPQ 與∠GEF 之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）90°（2）∠BFE＋180°∠CGE；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行線的遷移性；兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；∠BFE＋180°∠CGE（3）∠GPQ＋∠GEF＝90°

【解析】

（1）如圖1，過(guò)E作EH∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠HEF＝∠BFE＝40，∠HEG＝50，相加可得結(jié)論；

（2）由①知：∠HEF＝∠BFE，∠HEG＋∠CGE＝180°，則∠HEG＝180°∠CGE，兩式相加可得∠GEF＝∠BFE＋180°∠CGE；

（3）如圖2，根據(jù)角平分線的定義得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性質(zhì)得：∠GPQ＝∠GMF∠PFM＝∠CGP∠BFQ，計(jì)算∠GPQ＋∠GEF并結(jié)合②的結(jié)論可得結(jié)果．

（1）如圖1，過(guò)E作EH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EH，

∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，

∵∠CGE＝130°，

∴∠HEG＝50°，

∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；

故答案為：90°；

（2）∠GEF＝∠BFE＋180°∠CGE，

證明：過(guò)點(diǎn) E 作 EH∥AB，

∴∠FEH=∠BFE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∵AB∥CD，EH∥AB，（輔助線的作法）

∴EH∥CD（平行線的遷移性），

∴∠HEG=180°-∠CGE（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），

∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180°∠CGE，

故答案為：∠BFE＋180°∠CGE；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行線的遷移性；兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；∠BFE＋180°∠CGE；

（3）∠GPQ＋∠GEF＝90°，

理由是：如圖2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，

∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，

在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF∠PFM＝∠CGP∠BFQ，

∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE∠BFE＋∠GEF＝×180°＝90°．

即∠GPQ＋∠GEF＝90°．