Question

【題目】已知：如圖，銳角△ABC的兩條高CD、BE相交于點(diǎn)O，且OB=OC

1.求證：△ABC是等腰三角形

2.連結(jié)AO，判斷AO與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】1.見(jiàn)解析；2.AO⊥BC

【解析】

（1）由OB=OC得到∠OBC=∠OCB，在△BCD與△BEC中利用內(nèi)角和定理以及等量代換即得到∠ABC=∠ACB，故△ABC為等腰三角形

（2）連接AO并延長(zhǎng)交BC于F，易證△AOB≌△AOC，得到AF為∠BAC的角平分線(xiàn)，得到OA⊥BC

(1)∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，

∴∠BEC=∠BDC=90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）AO⊥BC

理由：連接AO并延長(zhǎng)交BC于F，

∵AB=AC，OB=OC，

又∵OA=OA，

∴△AOB≌△AOC．

∴∠BAF=∠CAF，

∴AF為∠BAC的角平分線(xiàn)

又∵△ABC為等腰三角形

∴OA⊥BC