Question

已知O為等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，OA=6，OB=8，OC=10，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：

分析：將△AOB沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADC，將△AOC沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BEC，將△BOC沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BFA，得出OA=AD，∠OAB=∠DAC，OC=EC，∠OCB=∠ECB，從而得出△OAD是等邊三角形，△ODC是直角三角形，即可得到S_△OAD=

1

2

OA•

3

2

OA=

1

2

×6×

3

2

×6=9

3

，S_△ODC=

1

2

OD•DC=

1

2

×6×8=24，得出S_△OAB+S_△OAC=S_△OAD+，S_△ODC=9

3

+24，同理得出S_△OBC+S_△OAC=S_△OCE+S_△BOE=24+25

3

，S_△OBC+S_△OAB=S_△OBF+S_△AOF=16

3

+24，三個(gè)式子相加除以2即是三角形ABC的面積．

解答：解：將△AOB沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADC，將△AOC沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BEC，將△BOC沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BFA，
∴OA=AD，∠OAB=∠DAC，OC=EC，∠OCB=∠ECB，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠OAD=60°，∠OCE=60°，
∴△OAD是等邊三角形，
∴OD=OA=6，
∵CD=OB=8，AC=10，
∴OD²+DC²=OC²，
∴△ODC是直角三角形，
∴S_△OAD=

1

2

OA•

3

2

OA=

1

2

×6×

3

2

×6=9

3

，S_△ODC=

1

2

OD•DC=

1

2

×6×8=24，
∴S_△OAB+S_△OAC=S_△OAD+，S_△ODC=9

3

+24，
同理可得：S_△OCE=

1

2

×10×

3

2

×10=25

3

，S_△BOE=

1

2

×6×8=24，
∴S_△OBC+S_△OAC=S_△OCE+S_△BOE=24+25

3

，
S_△OBF=

1

2

×8×

3

2

×8=16

3

，S_△AOF=

1

2

×6×8=24，
∴S_△OBC+S_△OAB=S_△OBF+S_△AOF=16

3

+24，
∴S_△ABC=

1

2

（9

3

+24+25

3

+24+16

3

+24）=25

3

+36．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)定理是關(guān)鍵．