Question

【題目】如圖，在菱形中，，垂足為，，，是的中點(diǎn)．現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①；②四邊形的面積等于；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

設(shè)DE=3k， AE=4k，根據(jù)勾股定理求得AD=5k，BE=k，從而求出邊長(zhǎng)及高，計(jì)算面積，可得①②正確；連接BD、AC，根據(jù)勾股定理可求對(duì)角線(xiàn)BD的長(zhǎng)，再利用菱形面積的兩種表示法求得AC的長(zhǎng)，即可得③正確；作DH⊥BC于H點(diǎn)，則DH=DE，根據(jù)垂線(xiàn)段最短可得DH＜DF，所以DE＜DF，即可得④錯(cuò)誤．

設(shè)DE=3k，則AE=4k，根據(jù)勾股定理求得AD=5k，

∴AD=AB=5k。

∴BE=AB-AE=5k-4k=k=1，

∴AB=5，DE=3．

故①正確；

S梯形DEBC=×（1+5）×3=9，

故②正確；

連接DB，

∵DE=3，EB=1，

∴DB=．

又∵SABCD=AB×DE=5×3=15，SABCD=×BD×AC，

∴15=× ×AC，

AC=3．

（AC+BD）（AC-BD）=AC2-BD2=（3）2-（）2=90-10=80．

故③正確；

作DH⊥BC于H點(diǎn)．

∵DE⊥AB，DH⊥BC，∠ABD=∠CBD，

∴DE=DH．

又DH＜DF，

∴DE＜DF．故④錯(cuò)誤．

所以①②③正確．

故選C．