【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)如圖1,連接EC,求證:△EBC是等邊三角形;
(2)點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)C,D重合),以BM為一邊,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.請(qǐng)你在圖2中畫(huà)出完整圖形,并直接寫(xiě)出MD,DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖3,點(diǎn)N是線段AD上的一點(diǎn),以BN為一邊,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.試探究ND,DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析,AD=DG+DM;(3)AD=DG﹣DN,理由見(jiàn)解析.
【解析】
試題分析:(1)利用“三邊相等”的三角形是等邊三角形證得△EBC是等邊三角形;
(2)延長(zhǎng)ED使得DW=DM,連接MN,即可得出△WDM是等邊三角形,利用△WGM≌△DBM即可得出BD=WG=DG+DM,再利用AD=BD,即可得出答案;
(3)利用等邊三角形的性質(zhì)得出∠H=∠2,進(jìn)而得出∠DNG=∠HNB,再求出△DNG≌△HNB即可得出答案.
(1)證明:如圖1所示:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,BC=.
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠DBA=∠A=30°.
∴DA=DB.
∵DE⊥AB于點(diǎn)E.
∴AE=BE=.
∴BC=BE.
∴△EBC是等邊三角形;
(2)結(jié)論:AD=DG+DM.
證明:
如圖2所示:延長(zhǎng)ED使得DW=DM,連接MW,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,
∴∠ADE=∠BDE=60°,AD=BD,
又∵DM=DW,
∴△WDM是等邊三角形,
∴MW=DM,
在△NGM和△DBM中,
∵
∴△WGM≌△DBM,
∴BD=WG=DG+DM,
∴AD=DG+DM.
(3)結(jié)論:AD=DG﹣DN.
證明:延長(zhǎng)BD至H,使得DH=DN.
由(1)得DA=DB,∠A=30°.
∵DE⊥AB于點(diǎn)E.
∴∠2=∠3=60°.
∴∠4=∠5=60°.
∴△NDH是等邊三角形.
∴NH=ND,∠H=∠6=60°.
∴∠H=∠2.
∵∠BNG=60°,
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7.
即∠DNG=∠HNB.
在△DNG和△HNB中,
∴△DNG≌△HNB(ASA).
∴DG=HB.
∵HB=HD+DB=ND+AD,
∴DG=ND+AD.
∴AD=DG﹣ND.
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