Question

【題目】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組“陸月輝煌”最近正在進(jìn)行幾何圖形組合問題的研究．認(rèn)真研讀以下四個(gè)片段，并回答問題．

（片斷一）小陸說：將一塊足夠大的等腰直角三角板置于一個(gè)正方形中，直角頂點(diǎn)與對角線交點(diǎn)O重合，在轉(zhuǎn)動(dòng)三角板的過程中我發(fā)現(xiàn)某些線段之間存在確定的數(shù)量關(guān)系．

如圖（1），若三角板兩條直角邊的外沿分別交正方形的邊AB、BC于點(diǎn)M、N，則①OM＋ON=MB＋NB；②．

請你判斷他的猜想是否正確？并證明你認(rèn)為正確的猜想．

（片斷二）小月說：將三角板中一個(gè)45°角的頂點(diǎn)和正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，使得這個(gè)角的兩條邊與正方形的一組鄰邊有交點(diǎn)．

如圖（2），若以A為頂點(diǎn)的45°角的兩邊分別交正方形的邊BC、CD于點(diǎn)M、N，交對角線BD于點(diǎn)E、F．我發(fā)現(xiàn)：BE2＋DE2=2AE2，只要準(zhǔn)確旋轉(zhuǎn)圖（2）中的一個(gè)三角形就能證明這個(gè)結(jié)論．

請你寫出小月所說的具體的旋轉(zhuǎn)方式：______________________．

（片斷三）小輝說：將三角板的一個(gè)45°角放置在正方形的外部，同時(shí)角的兩邊恰好經(jīng)過正方形兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)．

如圖（3），設(shè)頂點(diǎn)為E的45°角位于正方形的邊AD上方，這個(gè)角的兩邊分別經(jīng)過點(diǎn)B、C，連接EA，ED．那么線段EB、EC、ED也存在確定的數(shù)量關(guān)系：(EB＋ED)2=2EC2．

請你證明這個(gè)結(jié)論．

（片斷四）小煌說：在圖（2）中，作一個(gè)過點(diǎn)A、E、F的圓，交正方形的邊AB、AD于點(diǎn)G、H，如圖（4）所示．你知道線段DH、HG、GB三者之間的關(guān)系嗎？請直接寫出結(jié)論：________________．

Answer 1

【答案】【片斷一】①錯(cuò)誤，②正確，證明見詳解；【片斷二】將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG；【片斷三】證明見詳解；【片斷四】DH+BG=GH．

【解析】

根據(jù)四邊形ABCD是正方形，可以得出∠MOB=∠NOC，利用ASA可以證明△MOB≌△NOC，則可以判斷②正確；作交BC于E點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和垂線段最短可以判斷①錯(cuò)誤；
【片斷二】將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以證明△AFG≌△AFE，則可判斷△AGE是等腰直角三角形，利用勾股定理即可證明；
【片斷三】過點(diǎn)C作EC的垂線交EB延長線于F，可證△FCE是等腰直角三角形，并可得△CDE≌△CBF，即可推出結(jié)論，解決問題；
【片斷四】結(jié)論：DH+GB=HG．連接FH、CF、CE、EG，延長AB到J，使得BJ=DH，易證△ADF≌△CDF，利用三角形的內(nèi)角和定理可以推出C、F、H共線，

同理也可得C、E、G共線，根據(jù)A、G、E、F、H共圓和圓周角的性質(zhì)得到∠FCG=45°，可以推出∠BCJ +∠GBC=∠GCJ =45°=∠HCG，利用SAS可以證明△CGH≌△CGJ，則可以得到DH+BG=GH．

解：【片斷一】：①錯(cuò)誤，②正確；
理由：如圖1中，作交BC于E點(diǎn)

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB=OC=OD=OA，∠ABO=∠OCN=45°，
∵∠MON=∠BOC=90°，

∴∠MON-∠BON =∠BOC-∠BON
∴∠MOB=∠NOC，
∴△MOB≌△NOC（ASA），
∴BM=CN，
∴，

即②正確，

又∵，△BOC是等腰直角三角形，

則有，

∴

即，故①錯(cuò)誤；

【片斷二】

：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG；

證明：如圖2所示，連接GE，GF，

∵∠MAC=45°，并且由旋轉(zhuǎn)可知∠BAE=∠DAG，AG=AE，

∴∠GAF=∠EAF=45°

又∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴GF=EF，∠GAF=∠EAF =45°，AG=AE，

∴∠GAF+∠EAF =90°，

即△AGE是等腰直角三角形，

∴，
又∵∠ADG=∠ABE=∠ADF=45°，
∴∠FDG=90°，
∴，
即有．
故答案為：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG．

【片斷三】：如圖，過點(diǎn)C作EC的垂線交EB延長線于F，

∵∠ECF=∠DCB=90°，
∴∠DCE=∠BCF，

∵∠BEC=45°，即△FCE是等腰直角三角形，

∴CE=CF，
∵CD=CB，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴ED=FB，
∴EB+ED=EB+FB=EF，
又因?yàn)?/span>EC2+FC2=EF2，
∴（EB+ED）2=2EC2．

【片斷四】：結(jié)論：DH+GB=HG．
證明：如圖示，連接FH、CF、CE、EG，延長AB到J，使得BJ=DH，

∵DC=DC，DF=DF，∠ADF=∠CDF=45°，

∴△ADF≌△CDF（SAS），

∴∠DAF=∠DCF，

由三角形的內(nèi)角和定理可知：

∠DFC=180°-∠FDC-∠DCF =180°-45°-∠DCF=135°-∠DCF，

∠DFH=180°-∠FDH-∠DHF =180°-45°-∠DHF =135°-∠DHF，

∠DCF+∠DHF=90°，

∴∠DFH+∠DFC

=135°-∠DCF +135°-∠DHF

=270°-（∠DCF +∠DHF）

=270°-90°

=180°，
∴C、F、H共線，

同理可證C、E、G共線，

∵CD=CB,∠CDH=∠CBJ=90°，DH=BJ，

∴△CDH≌△CBJ（SAS），
∴CH=CJ，∠DCH=∠BCJ，

連接E，G，

∵A、G、E、F、H共圓，∠DAG=90°，

∴HG是圓的直徑，

∴∠HFG=∠GFC=90°，并且∠FGE=∠FAE=45°，

∴∠FCG=45°，

∴∠DCH+∠GBC=45°，

即有∠BCJ +∠GBC=∠GCJ =45°=∠HCG，

在△CGH和△CGJ中

∴△CGH≌△CGJ（SAS），
∴HG=GJ，
∴DH+BG=GH．