Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求線段CD的長；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ與△ABC相似？

（3）是否存在某一時(shí)刻，使得PQ分△ACD的面積為2：3？若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）CD＝；（2）t為3秒或秒時(shí)，△CPQ與△ABC相似；（3）不存在，見解析.

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AB＝10，進(jìn)利用面積法求出CD；

（2）先表示出CP，再判斷出∠ACD＝∠B，進(jìn)而分兩種情況，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出△CEQ∽△CDA，得出，進(jìn)而表示出QE＝t，再分當(dāng)S△CPQ＝S△ACD時(shí)，和當(dāng)S△CPD＝S△ACD時(shí)，利用面積建立方程求解即可得出結(jié)論．

解：（1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AB＝＝＝10，

∵S△ABC＝ACBC＝ABCD，

∴CD＝＝＝，

（2）由（1）知，CD＝，

由運(yùn)動(dòng)知，CQ＝t，DP＝t，

∴CP＝CD﹣DP＝﹣t，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCD＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠B+∠BCD＝90°，

∴∠ACD＝∠B，

∵△CPQ與△ABC相似，

∴①△CPQ∽△BCA，

∴，

∴，

∴t＝3

②△CPQ∽△BAC，

∴，

∴

∴t＝，

即：t為3秒或秒時(shí)，△CPQ與△ABC相似；

（3）假設(shè)存在，如圖，

在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得，AD＝＝＝，

過點(diǎn)Q作CE⊥CD于E，

∴QE∥AD，

∴△CEQ∽△CDA，

∴，

∴，

∴QE＝t，

∵S△CPQ＝CPQE＝（﹣t）t，

∴S△ACD＝ADCD＝××，

∵PQ分△ACD的面積為2：3，

∴①當(dāng)S△CPQ＝S△ACD時(shí)，

∴（﹣t）t＝×××，

∴25t2﹣120t+384＝0而△＝1202﹣4×25×384＝14400﹣38400＜0，

此方程無解，即：此種情況不存在，

②當(dāng)S△CPD＝S△ACD時(shí)，（﹣t）t＝×××，

∴25t2﹣120t+576＝0，而△＝1202﹣4×25×576＝14400﹣57600＜0，

此方程無解，即：此種情況不存在，

即：不存在某時(shí)刻，使得PQ分△ACD的面積為2：3．