Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E．

（1）證明：四邊形ACDE是平行四邊形；
（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，

∴AE∥CD，∠AOB=90°，

∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，

∴∠AOB=∠EDB，

∴DE∥AC，

∴四邊形ACDE是平行四邊形

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，

∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，

∵四邊形ACDE是平行四邊形，

∴AE=CD=5，DE=AC=8，

∴△ADE的周長為AD+AE+DE=5+5+8=18

【解析】（1）菱形的對角線互相垂直，對邊平行得出AB∥CD，AC⊥BD，再根據(jù)已知DE⊥BD，從而證得DE∥AC，即可得出結(jié)論。
（2）要求△ADE的周長，根據(jù)已知就需求AD的長，根據(jù)菱形的性質(zhì)，對角線互相垂直平分，在Rt△AOD中運用勾股定理求出AD的長，即可求出△ADE的周長。