【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為3的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上,點(diǎn)O在原點(diǎn),F(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,AB邊交直線y=x于點(diǎn)M,BC邊交x軸于點(diǎn)N(如圖).在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,△MBN的周長(zhǎng)為________
【答案】4.
【解析】
利用全等把△MBN的各邊整理到成與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)的式子即可.
解:如圖所示:延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn),
則∠AOE=45°-∠AOM,∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM,
∴∠AOE=∠CON.
又∵OA=OC,∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN,
在△OAE和△OCN中,
∠EOA=∠CON,OA=OC,∠OAE=∠OCN,
,
∴△OAE≌△OCN(ASA).
∴OE=ON,AE=CN.
在△OME和△OMN中,
OE=OC,∠EOM=∠COM,OM=OM,
∴△OME≌△OMN(SAS).
∴MN=ME=AM+AE.
∴MN=AM+CN,
∴△MBN的周長(zhǎng)=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=6.
“點(diǎn)睛”此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),注意求一些線段的長(zhǎng)度或角的度數(shù),總要整理到已知線段的長(zhǎng)度上或已知角的度數(shù)上進(jìn)而得出是解題關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料并完成任務(wù).
萊昂哈德·歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一,瑞士著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn),更把整個(gè)數(shù)學(xué)推至物理的領(lǐng)域;同時(shí),也是數(shù)學(xué)史上研究成果最多的數(shù)學(xué)家,平均每年寫出八百多頁(yè)的論文,還寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)等的課本,《無(wú)窮小分析引論》《微分學(xué)原理》《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)界中的經(jīng)典著作.因此,被稱為歷史上最偉大的兩位數(shù)學(xué)家之一(另一位是卡爾·弗里德里克·高斯).在數(shù)學(xué)成就上,歐拉最先把關(guān)于的多項(xiàng)式用記號(hào)的形式來(lái)表示(可用其他字母代替,但不同的字母表示不同的多項(xiàng)式),例如,當(dāng)時(shí),多項(xiàng)式的值用來(lái)表示,即;當(dāng)時(shí),多項(xiàng)式的值用來(lái)表示,記為.
任務(wù):
已知;.
請(qǐng)你根據(jù)材料中代入求值的方法解決下列問題:
(1)求的值;
(2)求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB分別交x軸、y軸于點(diǎn)點(diǎn)且a、b滿足.
______;______.
點(diǎn)P在直線AB的右側(cè),且,
若點(diǎn)P在x軸上,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______;
若為直角三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
如圖2,在的條件下,且點(diǎn)P在第四象限,AP與y軸交于點(diǎn)M,BP與x軸交于點(diǎn)N,連接求證:提示:過點(diǎn)P作交x軸于
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)證明:四邊形ACDE是平行四邊形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,AB為⊙O的直徑,PD切⊙O于點(diǎn)C,與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,DE⊥PO交PO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接PB,∠EDB=∠EPB.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)若PB=9,DB=12,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,DH⊥AB于點(diǎn)H,連接OH,求證:∠DHO=∠DCO.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x,y的方程組
(1)請(qǐng)直接寫出方程的所有正整數(shù)解
(2)若方程組的解滿足x+y=0,求m的值
(3)無(wú)論實(shí)數(shù)m取何值,方程x-2y+mx+5=0總有一個(gè)固定的解,請(qǐng)直接寫出這個(gè)解?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖①是一個(gè)長(zhǎng)為 a,寬為 b 的長(zhǎng)方形.現(xiàn)將相等的長(zhǎng)方形若干,拼接組成如下圖 形.
(1)將圖①中所得的四塊長(zhǎng)為 a,寬為 b 的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)正方形(如圖②).請(qǐng)利用 圖②中陰影部分面積的不同表示方法,直接寫出代數(shù)式(a+b)2、(a﹣b)2、ab 之間的等量關(guān)系是 ;
(2)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:已知 m+n=6,mn=5,則 m﹣n= ;
(3)將圖①中的長(zhǎng)方形和圖③中的兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為 a、b 的正方形若干個(gè),拼成如圖④的長(zhǎng)方形,則圖④中的長(zhǎng)方形的面積可以用兩種不同的方法表示,則關(guān)系式 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+12+m=0.
(1)若方程的一個(gè)根是,求m的值及方程的另一根;
(2)若方程的兩根恰為等腰三角形的兩腰,而這個(gè)三角形的底邊為m,求m的值及這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng).
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