Question

如圖2是裝有三個小輪的手拉車在“爬”樓梯時的側(cè)面示意圖，定長的輪架桿OA，OB，OC抽象為線段，有OA=OB=OC，且∠AOB=120°，折線NG-GH-HE-EF表示樓梯，GH，EF是水平線，NG，HE是鉛垂線，半徑相等的小輪子⊙A，⊙B與樓梯兩邊都相切，且AO∥GH．
（1）如圖2①，若點H在線段OB時，則

BH

OH

的值是

 

；
（2）如果一級樓梯的高度HE=（8

3

+2）cm，點H到線段OB的距離d滿足條件d≤3cm，那么小輪子半徑r的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：幾何圖形問題,壓軸題

分析：（1）作P為⊙B的切點，連接BP并延長，作OL⊥BP于點L，交GH于點M，求出ML，OM，根據(jù)

BH

OH

=

ML

OM

求解，
（2）作HD⊥OB，P為切點，連接BP，PH的延長線交BD延長線于點L，由△LDH∽△LPB，得出

DL

PL

=

DH

PB

，再根據(jù)30°的直角三角形得出線段的關系，得到DH和r的關系式，根據(jù)0≤d≤3的限制條件，列不等式組求范圍．

解答：解：（1）如圖2①，P為⊙B的切點，連接BP并延長，作OL⊥BP于點L，交GH于點M，
∴∠BPH=∠BLO=90°，
∵AO∥GH，
∴BL∥AO∥GH，
∵∠AOB=120°，
∴∠OBL=60°，
在RT△BPH中，HP=

3

BP=

3

r，
∴ML=HP=

3

r，
OM=r，
∵BL∥GH，
∴

BH

OH

=

ML

OM

=

3 r

r

=

3

，
故答案為：

3

．

（2）作HD⊥OB，P為切點，連接BP，PH的延長線交BD延長線于點L，
∴∠LDH=∠LPB=90°，
∴△LDH∽△LPB，
∴

DL

PL

=

DH

PB

，
∵AO∥PB，∠AOD=120°，
∴∠B=60°，
∴∠BLP=30°，
∴DL=

3

DH，LH=2DH，
∵HE=（8

3

+2）cm
∴HP=8

3

+2-r，
PL=HP+LH=8

3

+2-r+2DH，
∴

3 DH

2DH+8 3 +2-r

=

DH

r

，解得DH=

3 +1

2

r-4

3

-1，
∵0cm≤DH≤3cm，
∴0≤

3 +1

2

r-4

3

-1≤3，
解得：（11-3

3

）cm≤r≤8cm．
故答案為：（11-3

3

）cm≤r≤8cm．

點評：本題主要考查了圓的綜合應用，解決本題的關鍵是作出輔助線，運用30°的直角三角形得出線段的關系．