Question

△ABC中，∠C＝90°，點D在邊AB上，AD＝AC＝7，BD＝BC．動點M從點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CA向點A運動，同時，動點N從點D出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿DA向點A運動．當(dāng)一個點到達點A時，點M、N兩點同時停止運動．設(shè)M、N運動的時間為t秒．

⑴ 求cosA的值．

⑵ 當(dāng)以MN為直徑的圓與△ABC一邊相切時，求t的值．

Answer 1

解：⑴ 設(shè)BC＝4m，AC＝x，則BD＝2m，AD＝x

-- ∵　　　∴　16＋＝

-- 解之得　x＝3m

-- 從而AB＝5m

-- 因此cosA＝　

⑵ CM＝t，AM＝7－t，DN＝2t，AN＝7－2t，其中0≤t≤3.5

-- 記以MN為直徑的圓為⊙O，當(dāng)⊙O與AB相切時，則MN⊥AB，
因此，t＝2，符合題意； 

-- 當(dāng)⊙O與AC相切時，則MN⊥AC，因此，t＝－14，舍去；6分

-- 當(dāng)⊙O與BC相切時，

-- 如圖，作NE⊥BC，垂足為E．取EC的中點F，連結(jié)OF，則OF⊥BC，即點F為⊙O與BC相切的切點．連結(jié)MF，NF，則FM⊥FN，因此△FCM∽△NEF．

-- 因此CM·EN＝

-- 而CM＝t，EN＝，
EF＝FC＝EC＝

-- 因此，整理得

-- 解之得　t＝1，t＝－14（舍去）  --------------------------------- 綜上所得，當(dāng)以MN為直徑的圓與△ABC一邊相切時，t＝1或t＝2．  ----------------------------------  10分