Question

【題目】如圖，在白紙上畫兩條長度均為且夾角為的線段、，然后你把一支長度也為的鉛筆放在線段上，將這支鉛筆以線段上的一點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一周。

（1）若與重合，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為______時，這支鉛筆與線段、圍成的三角形是等腰三角形。

（2）點從逐漸向移動，記：

①若，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為、______、______、______、、______時這支鉛筆與線段、共圍成6個等腰三角形。

②當(dāng)這支鉛筆與線段、正好圍成5個等腰三角形時，求的取值范圍。

③當(dāng)這支鉛筆與線段、正好圍成3個等腰三角形時，直接寫出的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①、、、；②；③

【解析】

(1)運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作答即可;

(2)①對旋轉(zhuǎn)的各個位置進行討論，即可完成解答; 當(dāng)旋轉(zhuǎn)，，時，這段與、三次圍成等腰三角形，這樣正好圍成6個等于三角形分類討論即可；

解：（1）當(dāng)已知的30°角為底角，那么旋轉(zhuǎn)30°即可；

當(dāng)已知的30°角為頂角，那么旋轉(zhuǎn)75°即可；

故答案為：或.

（2）①t=1，即P為AB的中點:

當(dāng)已知的30°角為底角，那么30°、120°、210°、300°即可；

當(dāng)已知的30°角為頂角,那么旋轉(zhuǎn)75°、255°即可；

故答案為:、、、

②如圖1，位于中點時，分成了、兩段，以點為旋轉(zhuǎn)中心將其旋轉(zhuǎn)，，時，這段與、三次圍成等腰三角形，當(dāng)旋轉(zhuǎn)，，時這段與、三次圍成等腰三角形，這樣正好圍成6個等于三角形，此時.

如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時，當(dāng)（起初與重合的）正好與等長，即時，當(dāng)旋轉(zhuǎn)，，時較長的這段與、三次圍成等腰三角形，當(dāng)旋轉(zhuǎn)，時較短的這段與、兩次圍成等腰三角形，

如圖，，，，令，則，，易知，，，

此時可求得，，，

故旋轉(zhuǎn)形成5個等腰三角形時，.

③如圖：

當(dāng)時，3個 ， 當(dāng)時，4個 ，

可求得<.

注：時可這樣求解，如下圖

在上取，使，則，，令，

則，，，，

化成亦可.