Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為EF（點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上）．若以CEF為頂點(diǎn)的△與以ABC為頂點(diǎn)的三角形相似且AC=3，BC=4時(shí)，則AD的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若CE：CF=3：4，如圖1所示，此時(shí)EF∥AB，CD為AB邊上的高；②若CF：CE=3：4，如圖2所示．由相似三角形角之間的關(guān)系，可以推出∠A=∠ECD與∠B=∠FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)．

解答：解：若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：
①若CE：CF=3：4，如圖1所示．
∵CE：CF=AC：BC，
∴EF∥AB．
由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此時(shí)CD為AB邊上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∴cosA=

AC

AB

=

3

5

，
∴AD=AC•cosA=3×

3

5

=1.8；
②若CF：CE=3：4，如圖2所示．
∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF=∠B．
由折疊性質(zhì)可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，
∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×5=2.5．
綜上所述，AD的長(zhǎng)為1.8或2.5．
故答案為1.8或2.5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．運(yùn)用分類討論及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．