Question

幾何模型
條件：如圖1，A、B是直線l同側(cè)的兩個定點．
問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最�。�
方法：作點B關(guān)于直線l的對稱點B’，連結(jié)AB’交l于點P，則PA+PB=AB’的值最�。ú槐刈C明）．
直接應用
如圖2，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為

 

．
變式練習
如圖3，點A是半圓上（半徑為1）的三等分點，B是（

AN

）的中點，P是直徑MN上一動點，求PA+PB的最小值．
深化拓展
（1）如圖4，在銳角△ABC中，AB=4

2

，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC 于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，求BM+MN的最小值．
（2）如圖5，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．
（要求：保留作圖痕跡，并簡述作法．）

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：直接應用，如圖2，連接BM，則BM的長就是DN+NM的最小值，利用勾股定理即可求解；
變式練習：如圖3，作B關(guān)于MN的對稱點C，則C在圓上，且∠AOC=90°，連接AC，則AC的長就是AP+BP的最小值；
（1）作出B關(guān)于AM的對稱點C，作CE⊥AB于點E，CE的長就是BM+MN的最小值，利用三角函數(shù)即可求解；
（2）作點B關(guān)于直線AC的對稱點B'，連接DB'交AC于點P，即為所求．

解答：解：直接應用，如圖2，連接BM，則BM的長就是DN+NM的最小值．
在直角△BCM中，BC=8，CM=8-2=6，
則BM=

BC2+CM2

=

82+62

=10；


變式練習：如圖3，作B關(guān)于MN的對稱點C，則C在圓上，且∠AOC=90°，
連接AC，則AC的長就是AP+BP的最小值．
△AOC是等腰直角三角形，則AC=

2

OA=

2

，
即AP+BP的最小值是

2

；



深化拓展：（1）圖4．作出B關(guān)于AM的對稱點C，作CE⊥AB于點E．
則AC=AB=4

2

，
CE的長就是BM+MN的最小值，
∵∠BAC=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=

2

2

AC=

2

2

×4

2

=4；
（2）作點B關(guān)于直線AC的對稱點B'，連接DB'交AC于點P，即為所求．

點評：本題考查了軸對稱的性質(zhì)，以及勾股定理和正方形的性質(zhì)的綜合應用，正確確定量線段的長度的最小值是本題的關(guān)鍵．