Question

如圖，⊙P的半徑為r，圓心P在拋物線y=ax²+c上運(yùn)動．拋物線與x軸和y軸分別交與點A（1，0）點B（0，-1）．
（1）求：拋物線的解析式．
（2）當(dāng)r=1，且⊙P與x軸相切時，求點P的坐標(biāo)．
（3）是否存在⊙P滿足⊙P與x軸和y軸同時相切？若存在請確定點P的個數(shù)并求出r的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）根據(jù)⊙P的半徑為1，以及⊙P與x軸相切，即可得出y=1，求出x的值即可得出答案．
（3）根據(jù)設(shè)P（m，m²-1），利用⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切，則|x|=x²-1求出即可，

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+c與x軸和y軸分別交與點A（1，0）點B（0，-1），
∴

0=a+c -1=c

，解得

a=1 c=-1

，
∴拋物線的解析式為：y=x²-1；

（2）∵⊙P的半徑為1，圓心P在拋物線y=x²-1上運(yùn)動，
∴當(dāng)⊙P與x軸相切時，假設(shè)切點為A，
∴PA=1，
∴|x²-1|=1
即x²-1=1，或x²-1=-1，
解得x=±

2

，或x=0，
∴P點的坐標(biāo)為：（

2

，1）或（-

2

，1）或（0，-1）．

（3）根據(jù)y=x²-1，
設(shè)P（m，m²-1），利用⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切，
則m=-m²-1，或-m=m²-1，
∵△=1-4＜0，
∴上面等式不成立，
故不存在⊙P滿足⊙P與x軸和y軸同時相切的情況；

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、直線與圓的位置關(guān)系，圖象上點的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，利用在圖象上點的坐標(biāo)特點表示出線段長度是解題關(guān)鍵．