Question

閱讀下列材料：
問題：如圖1，在?ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，AE=AB，∠EAB=60°，過點(diǎn)E作直線EF，在EF上取一點(diǎn)G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG．
求證：EG=AG+BG．
小明同學(xué)的思路是：作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決．參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：
（1）完成上面問題中的證明；
（2）如果將原問題中的“∠EAB=60°”改為“∠EAB=90°”，原問題中的其它條件不變（如圖2），請?zhí)骄烤�段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H，則∠GAB=∠HAE，先根據(jù)ASA定理得出△ABG≌△AEH，由∠GAH=∠EAB=60°可知△AGH是等邊三角形，故可得出結(jié)論；
（2）作∠GAH=∠EAB交GE的延長線于點(diǎn)H，先根據(jù)ASA定理得出△ABG≌△AEH，故可得出BG=EH，AG=AH，根據(jù)∠GAH=∠EAB=90°可知△AGH是等腰直角三角形，所以

2

AG=HG，由此可得出結(jié)論．

解答：解：（1）證明：如圖1，作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H，則∠GAB=∠HAE．
∵∠EAB=∠EGB，∠GAB=∠HAE，
∴∠ABG=∠AEH．
∵又∵AB=AE，
∴

∠GAB=∠HAE AB=AE ∠ABG=∠AEH

∴△ABG≌△AEH．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=60°，
∴△AGH是等邊三角形．
∴AG=HG．
∴EG=AG+BG；

（2）線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系是EG=

2

AG-BG．
理由如下：
如圖2，作∠GAH=∠EAB交GE的延長線于點(diǎn)H，則∠GAB=∠HAE．
∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．
∴∠ABG=∠AEH．
又∵AB=AE，
∴

∠HAE=∠GAB AB=AE ∠AEH=∠ABG

，
∴△ABG≌△AEH．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形．
∴

2

AG=HG，
∴EG=

2

AG-BG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，難度適中．