【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)中,拋物線y=ax2-2ax-3a(a≠0)與x軸交于A、B(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且OC=3OA.
(1)如圖(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿y軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng),點(diǎn)D是拋物線頂點(diǎn),連接PB、PD、BD,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:秒),△PBD的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如圖(3)在(2)的條件下,延長(zhǎng)BP交拋物線于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BQ,垂足為E,連接CE、CB,若CE=CB,求t值,并求出此時(shí)的Q點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2-2x-3;(2)S=t+6;(3)t=;Q (, ).
【解析】試題分析:(1)令y=0,求出A、B的坐標(biāo),再由OC=3OA,得到a的值,即可得到結(jié)論;
(2)過(guò)B點(diǎn)作QR∥y軸,作PQ⊥DR,垂足為Q,過(guò)D點(diǎn)作DH∥x軸,交y軸于點(diǎn)H,交BR于點(diǎn)R.S△PDB=S矩形PQRH-(S△PQB+S△PDH+S△DBR),代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論;
(3)延長(zhǎng)EO、BC相交于點(diǎn)F,過(guò)F作作FG⊥y軸,垂足為G,ON⊥AD,過(guò)Q作QH⊥x軸,垂足為H.可證明△FCG≌△BCO,得到CG=CO=3,FG=BO=3.在△GOF中,可得到tan∠FOG=.由∠OBE=∠FOG,得到tan∠OBE=,從而可求的t的值.
設(shè)點(diǎn)Q(m.m2-2m-3),則QH=m2-2m-3,BH=3-m,得到tan∠OBE= ,BH=2QH,3-m=2(m2-2m-3),即可得到m的值,進(jìn)而得到Q 的坐標(biāo).
試題解析:解:(1)令y=0,ax2-2ax-3a=0,a(x-3)(x+1)=0.∵a≠0,∴ , .∵A在B的左側(cè),∴A(-1,0),B(3,0).∵OC=3OA=3,∴C(0,-3),∴-3a=-3,∴a=1,
∴拋物線為:y=x2-2x-3.
(2)如圖(2)過(guò)B點(diǎn)作QR∥y軸,作PQ⊥DR,垂足為Q,過(guò)D點(diǎn)作DH∥x軸,交y軸于點(diǎn)H,交BR于點(diǎn)R.
∵D是拋物線定點(diǎn),∴D(1,-4).∵P(0,
∴PQ=3,BQ=t,BR=4,DR=2,DH=1,PH=t+4,∴S△PDB=S矩形PQRH-(S△PQB+S△PDH+S△DBR)
∴S=PH×PQ- (PQ×BQ+PH×DH+DR ×BR) =(t+4)×3- ([3×t+(t+4)×1+2×4]
∴ S=t+6.
(3)如圖(3),延長(zhǎng)EO、BC相交于點(diǎn)F,過(guò)F作作FG⊥y軸,垂足為G,ON⊥AD,
過(guò)Q作QH⊥x軸,垂足為H.
∵OE⊥BQ,∴∠BEF=900.∵CE=CB,∴∠BEC=∠EBC.
∵∠BEC+∠CEF=900,∠EBC+∠BFE=900,∴∠CEF=∠BFE,∴CF=CE=CB.∵FG⊥y軸,∠FGC=∠BOC=900,∠FCG=∠BCO,∴△FCG≌△BCO,∴CG=CO=3,FG=BO=3.
在△GOF中,∠FGC=900,FG=3,OG=6,∴tan∠FOG=.
∵∠BOE+∠OBE=900.,∠BOEC+∠POE=900,∴∠OBE=∠POE,∠POE=∠FOG,∴∠OBE=∠FOG,∴tan∠OBE=,∴OP= =,∴t=.
設(shè)點(diǎn)Q(m.m2-2m-3),則QH=m2-2m-3,BH=3-m,∴tan∠OBE= ,BH=2QH,3-m=2(m2-2m-3),∴m1=,m2=3(舍去),∴m=,∴Q ().
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)農(nóng)民工創(chuàng)業(yè),宿州市政府制定了小型企業(yè)的優(yōu)惠政策,許多小型企業(yè)應(yīng)運(yùn)而生.某鎮(zhèn)統(tǒng)計(jì)了該鎮(zhèn)今年1~5月新注冊(cè)小型企業(yè)的數(shù)量,并將結(jié)果繪制成如下兩種不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
今年1~5月各月新注冊(cè)小型企業(yè)今年1~5月各月新注冊(cè)小型企業(yè)數(shù)量占今年前數(shù)量折線統(tǒng)計(jì)圖五月新注冊(cè)小型企業(yè)總量的百分比扇形統(tǒng)計(jì)圖
(1)某鎮(zhèn)今年1~5月新注冊(cè)小型企業(yè)一共有 家,請(qǐng)將折線統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(2)該鎮(zhèn)今年3月新注冊(cè)的小型企業(yè)中,只有2家是餐飲企業(yè).現(xiàn)從3月新注冊(cè)的小型企業(yè)中隨機(jī)抽取2家企業(yè)了解其經(jīng)營(yíng)狀況,請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出所抽取的2家企業(yè)恰好都是餐飲企業(yè)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為半圓O的直徑,AC是⊙O的一條弦,D為的中點(diǎn),作DE⊥AC,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接DA.
(1)求證:EF為半圓O的切線;
(2)若DA=DF=,求陰影區(qū)域的面積.(結(jié)果保留根號(hào)和π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)已知一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角的 3 倍大 30°,求這個(gè)角的度數(shù);
(2)如圖,點(diǎn) C、D在線段 AB上, D是線段 AB的中點(diǎn), AC AD , AB6,求線段 CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有一塊Rt△ABC的紙片,∠ABC=900,AB=6,BC=8,將△ABC沿AD折疊,使點(diǎn)B落在AC上的E處,則BD的長(zhǎng)為( )
A.3B.4C.5D.6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,點(diǎn)P開(kāi)始從點(diǎn)A開(kāi)始沿△ABC的邊做逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿△ABC的邊做逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,他們同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)出發(fā)2秒后,求PQ的長(zhǎng);
(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△PQB能形成等腰三角形嗎?若能,則求出幾秒后第一次形成等腰三角形;若不能,則說(shuō)明理由;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀第①小題的計(jì)算方法,再計(jì)算第②小題.
①–5+(–9)+17+(–3)
解:原式=[(–5)+(–)]+[(–9)+(–)]+(17+)+[(–3+(–)]
=[(–5)+(–9)+(–3)+17]+[(–)+(–)+(–)+]
=0+(–1)
=–1.
上述這種方法叫做拆項(xiàng)法.靈活運(yùn)用加法的交換律、結(jié)合律可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.
②仿照上面的方法計(jì)算:(﹣2000)+(﹣1999)+4000+(﹣1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于點(diǎn)E,AD⊥BC于點(diǎn)D,∠BAD=45°,AD與BE交于點(diǎn)F,連接CF.
(1)求證:BF=2AE;
(2)若CD=,求AD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料:
在數(shù)軸上,點(diǎn) A 在原點(diǎn) 0 的左邊,距離原點(diǎn) 4 個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn) B 在原點(diǎn)的右邊,點(diǎn) A 和點(diǎn) B 之間的距離為 14個(gè)單位長(zhǎng)度.
(1)點(diǎn) A 表示的數(shù)是 ,點(diǎn) B 表示的數(shù)是 ;
(2)點(diǎn) A、B 同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左移動(dòng),速度分別為 1 個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,3 個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,經(jīng)過(guò)多少秒,點(diǎn) A 與點(diǎn) B重合?
(3)點(diǎn) M、N 分別從點(diǎn) A、B 出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng),速度分別為 1 個(gè)單位長(zhǎng)度/秒、2 個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,點(diǎn) P 為 ON 的中點(diǎn),設(shè) OP-AM 的值為 y,在移動(dòng)過(guò)程中,y 值是否發(fā)生變化?若不變,求出 y 值;若變化,說(shuō)明理由.
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