【題目】如圖1,⊙O是△ABC的外接圓,AB是直徑,D是⊙O外一點(diǎn)且滿足∠DCA=∠B,連接AD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若AD⊥CD,AB=10,AD=8,求AC的長(zhǎng);
(3)如圖2,當(dāng)∠DAB=45°時(shí),AD與⊙O交于E點(diǎn),試寫出AC、EC、BC之間的數(shù)量關(guān)系并證明.
【答案】(1)見解析;(2)AC的長(zhǎng)為4;(3)AC=BC+EC,理由見解析
【解析】
(1)連接OC,由直徑所對(duì)圓周角是直角可得∠ACB=90°,由OC=OB得出∠OCB=∠B,由因?yàn)椤?/span>DCA=∠B,從而可得∠DCA=∠OCB,即可得出∠DCO=90°;
(2) 由題意證明△ACD∽△ABC,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出等式求出AC即可;
(3) 在AC上截取AF使AF=BC,連接EF、BE,通過條件證明△AEF≌△BEC,根據(jù)性質(zhì)推出△EFC為等腰直角三角形,即可證明AC、EC、BC的數(shù)量關(guān)系.
(1)證明:連接OC,如圖1所示:
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵OC=OB,
∴∠B=∠OCB,
∵∠DCA=∠B,
∴∠DCA=∠OCB,
∴∠DCO=∠DCA+∠OCA=∠OCB+∠OCA=∠ACB=90°,
∴CD⊥OC,
∴CD是⊙O的切線;
(2)解:∵AD⊥CD
∴∠ADC=∠ACB=90°
又∵∠DCA=∠B
∴△ACD∽△ABC
∴,即,
∴AC=4,
即AC的長(zhǎng)為4;
(3)解:AC=BC+EC;理由如下:
在AC上截取AF使AF=BC,連接EF、BE,如圖2所示:
∵AB是直徑,
∴∠ACB=∠AEB=90°,
∵∠DAB=45°,
∴△AEB為等腰直角三角形,
∴∠EAB=∠EBA=∠ECA=45°,AE=BE,
在△AEF和△BEC中,,
∴△AEF≌△BEC(SAS),
∴EF=CE,∠AFE=∠BCE=∠ACB+∠ECA=90°+45°=135°,
∴∠EFC=180°﹣∠AFE=180°﹣135°=45°,
∴∠EFC=∠ECF=45°,
∴△EFC為等腰直角三角形.
∴CF=EC,
∴AC=AF+CF=BC+EC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將拋物線y=﹣x2向左平移3個(gè)單位,再向上平移4個(gè)單位.
(1)寫出平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式.
(2)若平移后的拋物線的頂點(diǎn)為A,與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是B、C,求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=α,點(diǎn)D在邊AC上(不與點(diǎn)A,C重合)連接BD,點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,連結(jié)CK,EK,CE,將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度(旋轉(zhuǎn)角小于90°)
(1)如圖1,若α=45°,則△ECK的形狀為______;
(2)在(1)的條件下,若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使得D,E,B三點(diǎn)共線,點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn),如圖2所示,求證:BE-AE=2CK;
(3)若△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí),使得D,E,B三點(diǎn)共線,點(diǎn)K仍為線段BD的中點(diǎn),請(qǐng)你直接寫出BE,AE,CK三者之間的數(shù)量關(guān)系(用含α的三角函數(shù)表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近幾年購(gòu)物的支付方式日益增多,某數(shù)學(xué)興趣小組就此進(jìn)行了抽樣調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示,支付方式有:A微信、B支付寶、C現(xiàn)金、D其他,該小組對(duì)某超市一天內(nèi)購(gòu)買者的支付方式進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次一共調(diào)查了多少名購(gòu)買者?
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;在扇形統(tǒng)計(jì)圖中A種支付方式所對(duì)應(yīng)的圓心角為 度.
(3)若該超市這一周內(nèi)有1600名購(gòu)買者,請(qǐng)你估計(jì)使用A和B兩種支付方式的購(gòu)買者共有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 某蛋糕店出售網(wǎng)紅“奶昔包”,成本為30元/件,每天銷售y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間存在一次函數(shù)關(guān)系,當(dāng)以40元每件出售時(shí),每天可以賣300件,當(dāng)以55元每件出售時(shí),每天可以賣150件.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果規(guī)定每天“奶昔包”的銷售量不低于240件,當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),每天獲取的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?
(3)該蛋糕店店主熱心公益事業(yè),決定從每天的銷售利潤(rùn)中捐出150元給希望工程,為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于3600元,試直接寫出該“奶昔包”銷售單價(jià)的范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是長(zhǎng)沙九龍倉(cāng)國(guó)際金融中心,位于長(zhǎng)沙市黃興路與解放路交會(huì)處的東北角,投資160億元人民幣,總建筑面積達(dá)98萬(wàn)平方米,中心主樓BC高452m,是目前湖南省第一高樓,大樓頂部有一發(fā)射塔AB,已知和BC處于同一水平面上有一高樓DE,在樓DE底端D點(diǎn)測(cè)得A的仰角為α,tanα=,在頂端E點(diǎn)測(cè)得A的仰角為45°,AE=140m
(1)求兩樓之間的距離CD;
(2)求發(fā)射塔AB的高度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn),過點(diǎn)O作OD⊥AB,交BC的延長(zhǎng)線于D,交AC于點(diǎn)E,F是DE的中點(diǎn),連接CF.
(1)求證:CF是⊙O的切線.
(2)若∠A=22.5°,求證:CE=CB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為支持國(guó)家南水北調(diào)工程建設(shè),小王家由原來(lái)養(yǎng)殖戶變?yōu)榉N植戶,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知,當(dāng)種植櫻桃的面積x不超過15畝時(shí),每畝可獲得利潤(rùn)y=1900元;超過15畝時(shí),每畝獲得利潤(rùn)y(元)與種植面積x(畝)之間的函數(shù)關(guān)系如下表(為所學(xué)過的一次函數(shù),反比例函數(shù)或二次函數(shù)中的一種)
x(畝) | 20 | 25 | 30 | 35 |
y(元) | 1800 | 1700 | 1600 | 1500 |
(1)請(qǐng)求出種植櫻桃的面積超過15畝時(shí)每畝獲得利潤(rùn)y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果小王家計(jì)劃承包荒山種植櫻桃,受條件限制種植櫻桃面積x不超過50畝,設(shè)小王家種植x畝櫻桃所獲得的總利潤(rùn)為W元,求小王家承包多少畝荒山獲得的總利潤(rùn)最大,并求總利潤(rùn)W(元)的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形EFGH是由四邊形ABCD經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的,如果用有序數(shù)對(duì)(3,1)表示方格紙上A點(diǎn)的位置,用(2,2)表示點(diǎn)B的位置,那么由四邊形ABCD旋轉(zhuǎn)得到四邊形EFGH時(shí)的旋轉(zhuǎn)中心用有序數(shù)對(duì)表示為_____(數(shù)為整數(shù))
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