試題分析:(1)將兩個解析式聯(lián)立組成方程組,解方程組即得
要想△ABP的面積最大,則要在要求的拋物線上找到一個點P,使點P到直線AB的距離最大,這時過點P且與AB平行的直線與拋物線只有一個交點,利用根的判別式可確定平移后所得直線的解析式,進而可得點的坐標,求出面積
設(shè)圓心為E,連接EQ,直線與x軸交點為H,與y軸交點為F;由已知可得直線與兩坐標軸交點的坐標,從而可得直線與坐標軸交點到原點的距離;由圓的切線及相似的知識可得出EQ、QH的長,
再由勾股定理可得要求的值
試題解析:(1)A(-1,0) ,B(2,3)
(2)平移直線AB得到直線L,當L與拋物線只有一個交點時,△ABP面積最大[如圖12-1(1)]
設(shè)直線L解析式為:
,
根據(jù)
,得
判別式△
,解得,
代入原方程中,得
;解得,
,
∴P(
,
)
易求,AB交
軸于M(0,1),直線L交軸
于G(0,
)
過M作MN⊥直線L于N,∵OM=1,OA=1,∴∠AMO=45°
∵∠AMN=90,∴∠NMO=45°
在RT△MNE中,∠NMO=45°,MG=
,[如圖12-1(2)]
∴ MN=
,MN即為△ABP的高
由兩點間距離公式,求得:AB=
故△ABP最大面積
(3)設(shè)在直線
上存在唯一一點Q使得∠OQC=90°
則點Q為以O(shè)C的中點E為圓心,OC為直徑形成的圓E與直線
相切時的切點,[如圖12-2(1)]
由解析式可知:C(
,0),OC=
,則圓E的半徑:OE=CE=
=QE
設(shè)直線
與
、
軸交于H點和F點,則F(0,1),∴OF=1 則H(
,0), ∴OH =
∴ EH=
∵AB為切線 ∴EQ⊥AB,∠EQH=90°
在△FOH和△EQH中
∴△FOH∽△EQH
∴
∴ 1:
=
:QH,∴QH =
在RT△EQH中,EH=
,QH =
,QE =
,根據(jù)勾股定理得,
+
=
求得