解：（1）由拋物線C₁：得頂點P的坐標(biāo)為（2，5）………….1分

∵點A（－1，0）在拋物線C₁上∴.………………2分

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G..

∵點P、M關(guān)于點A成中心對稱,

∴PM過點A，且PA＝MA..

∴△PAH≌△MAG..

∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.

∴頂點M的坐標(biāo)為（，5）.………………………3分

∵拋物線C₂與C₁關(guān)于x軸對稱，拋物線C₃由C₂平移得到

∴拋物線C₃的表達式.  …………4分

（3）∵拋物線C₄由C₁繞x軸上的點Q旋轉(zhuǎn)180°得到

∴頂點N、P關(guān)于點Q成中心對稱.

 由（2）得點N的縱坐標(biāo)為5.

設(shè)點N坐標(biāo)為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PR⊥NG于R.

∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上,

∴EF＝AB＝2AH＝6.

 ∴EG＝3，點E坐標(biāo)為（，0），H坐標(biāo)為（2，0），R坐標(biāo)為（m，－5）.

根據(jù)勾股定理，得

①當(dāng)∠PNE＝90º時，PN²+ NE²＝PE²，

解得m＝，∴N點坐標(biāo)為（，5）

②當(dāng)∠PEN＝90º時，PE²+ NE²＝PN²，

解得m＝，∴N點坐標(biāo)為（，5）.

③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º  ………7分

綜上所得，當(dāng)N點坐標(biāo)為（，5）或（，5）時，以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分

如圖，已知拋物線：的頂點為，與軸相交于兩點（點在點的左邊），點的橫坐標(biāo)是．

（1）求點坐標(biāo)及的值；

（2）如圖1，拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，將拋物線向左平移，平移后的拋物線記為，的頂點為，當(dāng)點關(guān)于點成中心對稱時，求的解析式；

（3）如圖2，點是軸負半軸上一動點，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到拋物線．拋物線的頂點為，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當(dāng)以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形時，求頂點的坐標(biāo)．

解：（1）旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式為．  ………………………  1分

（2）由旋轉(zhuǎn)可得（4，-1）、（1，-4）．  …………………………  3分

（3）依題意，可知．若為直角三角形，則同時也是等腰三角形，因此，只需求使為直角三角形的值．

分兩種情況討論：

①當(dāng)是直角，時，如圖1，

∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=MN=t，

∴B′M=8-t，

∵，

∴．  …………  4分

解得  （舍去負值），

∴．  ………………  5分

②當(dāng)是直角，時，

如圖2，

∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=t，

∴B′M=MN=8-t，

∵，

∴，

解得  ．

∵，，

∴此時t值不存在．  ……………  6分

（此類情況不計算，通過畫圖說明t值不存在也可以）

綜上所述，當(dāng)時，為等腰直角三角形．  ………………  7分

在平面直角坐標(biāo)系中，A、B為反比例函數(shù)的圖象上兩點，A點的橫坐標(biāo)與B點的縱坐標(biāo)均為1，將的圖象繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，A點的對應(yīng)點為，B點的對應(yīng)點為．

（1）求旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式；

（2）求、點的坐標(biāo)；

（3）連結(jié)．動點從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，當(dāng)其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設(shè)運動的時間為秒，試探究：是否存在使為等腰直角三角形的值，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

解：（1）OA=1，OC=2

則A點坐標(biāo)為（0，1），C點坐標(biāo)為（2，0）

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b

解得

直線AC的解析式為··················· 2分

（2）或

（正確一個得2分）························· 8分

（3）如圖，設(shè)

過點作于F

由折疊知

或2··········· 10分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸的正半軸上，在軸的正半軸上，，，點在邊上且．

（1）求直線的解析式．

（2）在軸上是否存在點，直線與矩形對角線交于點，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）拋物線經(jīng)過怎樣平移，才能使得平移后的拋物線過點和點（點在軸正半軸上），且沿折疊后點落在邊上處？

解：（1）由題意知，當(dāng)、運動到秒時，如圖①，過作交于點，則四邊形是平行四邊形．

∵，．

∴．

∴．

∴ ．解得．  5分

（2）分三種情況討論：

① 當(dāng)時，如圖②作交于，則有即．

∵，

∴，

∴，

解得． 6分

② 當(dāng)時，如圖③，過作于H．

則，

∴．

∴．7分

③ 當(dāng)時，如圖④．

則．

．      -------------------------------------8分

綜上所述，當(dāng)、或時，為等腰三角形．

如圖，在梯形中，，，，，梯形的高為．動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動．設(shè)運動的時間為（秒）．

（1）當(dāng)時，求的值；

（2）試探究：為何值時，為等腰三角形．

把金屬銅和氧化銅的混合物2克裝入試管中，在不斷通入氫氣的情況下加熱試管，待反應(yīng)不再發(fā)生后，停止加熱，待冷卻后稱量，得到1．8克固體物質(zhì)．請你求一下原混合物中金屬銅有多少克?

5.12汶川大地震給我們國家造成巨大損失，有許多人投入了抗震救災(zāi)戰(zhàn)斗之中，身為醫(yī)護人員的小剛的父母也投身其中．如圖16-1，小剛家、王老師家，學(xué)校在同一條路上，小剛家到王老師家的路程為3千米，王老師家到學(xué)校的路程為0．5千米．由于小剛的父母戰(zhàn)斗在抗震救災(zāi)第一線，為了使他能按時到校，王老師每天騎自行車接小剛上學(xué)．已知王老師騎自行車的速度是步行的3倍，每天比平時步行上班多用了20分鐘，問王老師的步行速度及騎自行車的速度各是多少?