如圖1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在A上，從AB邊開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：在線段BC上取一點(diǎn)M，連接AM，若AD平分∠BAM，則∠MAE與∠EAC的數(shù)量關(guān)系是．
（2）猜想論證：當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)，線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD²+CE²=DE²．小穎和小亮想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決：
小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，連接EF（如圖2）；
小亮的想法：將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接EG（如圖3）；
請(qǐng)你從中任選一種方法進(jìn)行證明；
（3）拓展探究：繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)（如圖4），試探究線段BD、CE、DE之間的關(guān)系，請(qǐng)直接寫出寫出結(jié)論．

如圖1，將一張直角梯形紙片沿虛線剪開，得到矩形和直角三角形兩張紙片，測(cè)得AB=5，AD=4，對(duì)兩張紙片進(jìn)行如下操作：
將Rt△EFG的頂點(diǎn)G移到矩形的頂點(diǎn)B處，再將直角三角形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)E落在CD邊上，此時(shí)，EF恰好經(jīng)過點(diǎn)A（如圖2）．

（1）求證：∠DEA=∠BEF；
（2）求線段BF的長(zhǎng)；
（3）將直角三角形的邊AB重合，然后將Rt△EFG沿直線BC向右平移（如圖3），至F點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)停止．在平移過程中，設(shè)G點(diǎn)平移的距離為x，兩紙片重疊部分面積為y，求在平移過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式．

如圖，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，P為AC中點(diǎn)，E為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足條件∠EPF=45°，記四邊形PEBF的面積為S₁；
（1）求證：∠APE=∠CFP；
（2）記△CPF的面積為S₂，CF=x，y=

S1

S2

．
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍，并求y的最大值．
②在圖中作四邊形PEBF關(guān)于AC的對(duì)稱圖形，若它們關(guān)于點(diǎn)P中心對(duì)稱，求y的值．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（a，0）（a＞0），B（2，3），C（0，3）．過原點(diǎn)O作直線l，使它經(jīng)過第一、三象限，直線l與y軸的正半軸所成角設(shè)為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，我們把這個(gè)操作過程記為FZ[θ，a]．
（Ⅰ）若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，則θ=（度），a的值為；
（Ⅱ）若θ=45°，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，若點(diǎn)E在四邊形0ABC的邊AB上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（Ⅲ）作直線CD交x軸于點(diǎn)G，交直線AB于點(diǎn)H，使得△ODG與△GAH是一對(duì)相似的等腰三角形，直接寫出a的值．

如圖，△ABC中，AB=AC=

2

，∠BAC=90°，DE經(jīng)過點(diǎn)A，且DE⊥BC，垂足為E，∠DCE=60°．
（1）以點(diǎn)E為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)△CDE，使旋轉(zhuǎn)后得到的△C′D′E的邊C′D′恰好經(jīng)過點(diǎn)A，求此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的大��；
（2）在（1）的情況下，將△C′D′E沿BC向右平移t（0＜t＜1），設(shè)平移后的圖形與△ABC重疊部分面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．

推理證明：如圖1，在正方形ABCD和正方形CGFE中，連結(jié)DE、BG，設(shè)△DCE的面積為S₁，△BCG的面積為S₂，求證：S₁=S₂．
猜想論證：如圖2，將矩形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到矩形FECG，連結(jié)DE、BG，設(shè)△DCE的面積為S₁，△BCG的面積為S₂，猜想S₁、S₂的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
拓展探究：如圖3，在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=30°，把△ABC沿AC翻折到△ACE，過點(diǎn)A作AD∥CE交BC于點(diǎn)D，在線段CE上存在點(diǎn)P，使△ABP的面積等于△ACD的面積，請(qǐng)你直接寫出CP的長(zhǎng)．

如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，F(xiàn)為線段AD上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)A，D重合），過F的直線交矩形的另一邊于點(diǎn)E，且該直線滿足tan∠DFE=

1

2

，設(shè)AF長(zhǎng)度為x．
（1）記△BEF的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，若矩形ABCD關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形為矩形A′B′C′D′，試說明矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說明理由．

已知：如圖①，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=1，以AB為一邊在△ABC的異側(cè)作正方形ABDE，△AFG是由△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)而得，且點(diǎn)F，A，C在同一條直線上．

（1）設(shè)FG與AE的交點(diǎn)為H，求AH的長(zhǎng)；
（2）若將△AFG沿著射線AB方向平移，當(dāng)△AFG與正方形ABDE沒有重疊部分時(shí)停止移動(dòng)，設(shè)平移的距離為m，△AFG與正方形ABDE重疊部分的面積為S．請(qǐng)直接寫出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量m的取值范圍；
（3）如圖②，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180），記旋轉(zhuǎn)中的△ABC為△AB′C′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)B′C′所在的直線與直線BC交于點(diǎn)P，與直線AB交于點(diǎn)Q，是否存在這樣的α，使△BPQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)α的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

課堂上，老師將圖1中△AOB點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)圖形的形狀和大小不變，但位置發(fā)生了變化，當(dāng)△AOB旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，得到△A₁OB₁，已知A（4，2）、B（3，0）．
（Ⅰ）A₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；B₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；△A₁OB₁的面積是；
（Ⅱ）課后，小玲和小惠對(duì)該問題繼續(xù)進(jìn)行探究，將圖2中△AOB繞AO的中點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′O′B′，設(shè)O′B′交OA于D，O′A′交x軸于E．此時(shí)O′的坐標(biāo)分別為（3，-1），且O′B′經(jīng)過B點(diǎn)．求A′點(diǎn)，B′點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形CEBD的面積；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求△AOB外接圓的半徑．

如圖1，在△ABC和△AEF中，∠BAC=∠EAF=α，AB=AC，AE=AF，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，連接CE，點(diǎn)N是CE的中點(diǎn)，連接DN，MN．

（1）如圖2，將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BA，CA的延長(zhǎng)線上．
①試探究線段DN與MN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②此時(shí)，∠DNM與α之間存在等量關(guān)系，這個(gè)等量關(guān)系為（不必說明理由）．
（2）將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在△ABC內(nèi)部，如圖3，此時(shí)，你在（1）中得到的①、②兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．