如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過(guò)B、D兩點(diǎn)，且分別交AB、BC于點(diǎn)E、F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）已知AB=5，AC=4，求⊙O的半徑r．

小亮和小紅在公園放風(fēng)箏，不小心讓風(fēng)箏掛在樹(shù)梢上，風(fēng)箏固定在A處（如圖1），為測(cè)量此時(shí)風(fēng)箏的高度，他倆按如下步驟操作：
第一步：小亮在測(cè)點(diǎn)D處用測(cè)角儀測(cè)得仰角∠ACE=β．
第二步：小紅量得測(cè)點(diǎn)D處到樹(shù)底部B的水平距離BD=a，
第三步：量出測(cè)角儀的高度CD=b．
之后，他倆又將每個(gè)步驟都測(cè)量了三次，把三次測(cè)得的數(shù)據(jù)繪制成如圖2的條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖．
請(qǐng)你根據(jù)兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解答下列問(wèn)題：
（1）求出a、b和β的平均值；
（2）根據(jù)（1）中得到的樣本平均值計(jì)算處風(fēng)箏的高度AB．（參考數(shù)據(jù)：

3

≈1.732，

2

，1.414．結(jié)果精確到0.01米）．

計(jì)算：-2²-|-

3

|+（

1

3

）^-2×（π-

2

）⁰+（-1）²⁰¹⁴-

9

．

如圖，直線y=-2x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°后得到△OCD．
（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)D的坐標(biāo)是
（2）設(shè)直線CD與AB交于點(diǎn)M，求線段BM的長(zhǎng)；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

在一個(gè)不透明的盒子里，裝有4個(gè)黑球和若干個(gè)白球，它們除顏色外沒(méi)有任何其他區(qū)別．搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)，共摸球40次，其中10次摸到黑球，則估計(jì)盒子中大約有白球多少個(gè)？

如圖：方格紙中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上．
①判斷△ABC和△DEF是否相似，并說(shuō)明理由；
②點(diǎn)P₁，P₂，P₃，D，F(xiàn)都是△DEF邊上的5個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谶@5個(gè)格點(diǎn)中選取3個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，使構(gòu)成的三角形與△ABC相似．（寫(xiě)出一個(gè)即可，并在圖中連接相應(yīng)線段，不必說(shuō)明理由）

如圖，菱形ABED中，BG⊥DE于G，且GE=

1

2

AE，AG交BE于F，作∠AFH=60°，F(xiàn)H交DE于H點(diǎn)．
（1）求證：△ABE是等邊三角形；
（2）求證：HE+EF=AE．

已知：如圖，在梯形ABCD中，DF平分∠ADC，交邊BC于F，若以點(diǎn)D為圓心，DC長(zhǎng)為半徑作弧，交邊AD于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)EF、BE、EC．
（1）求證：EF=CF；
（2）若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷線段BE和EC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

“數(shù)學(xué)是一種知識(shí)，更是一種過(guò)程．”同學(xué)們回憶一下，我們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)知識(shí)時(shí)經(jīng)常會(huì)經(jīng)歷這樣的過(guò)程：根據(jù)給定的研究對(duì)象，構(gòu)造（或研究）對(duì)象的特殊情況，再通過(guò)猜想、推理提煉對(duì)象的一般情況，最后對(duì)研究對(duì)象驗(yàn)證和實(shí)踐的思維活動(dòng)過(guò)程．
例如：比較n^r+1和（n+1）^r的大�。╪≥1的整數(shù)），我們可以從分析n=1，n=2，n=3，…，這些簡(jiǎn)單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過(guò)歸納，猜想出結(jié)論．進(jìn)而應(yīng)用歸納出的結(jié)論比較兩個(gè)數(shù)2010²⁰¹³和2011²⁰¹⁴等數(shù)的大小．
在研究真分?jǐn)?shù)

a

b

（a、b均為正數(shù)）和真分?jǐn)?shù)

a+m

b+m

（m為正數(shù)）的大小時(shí)，我們可以用上面的思想和方法進(jìn)行研究：
研究特殊情況：
（1）任意寫(xiě)一些正的真分?jǐn)?shù)

1

2

、、…，給每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同加一個(gè)正數(shù)得到新分?jǐn)?shù)：

1+1

2+1

、、…
提煉一般情況：
（2）比較原來(lái)每個(gè)分?jǐn)?shù)與對(duì)應(yīng)新分?jǐn)?shù)的大小，可以得出下面的結(jié)論：一個(gè)真分?jǐn)?shù)是

a

b

（a、b均為正數(shù)），給其分子分母同加一個(gè)正數(shù)m，得

a+m

b+m

，則兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系是

a+m

b+m

a

b

．
解決問(wèn)題：
（3）利用上述原理簡(jiǎn)要說(shuō)明一杯糖水加上一勺糖更甜的理由．．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD，頂點(diǎn)A（1，b），B（3，b），D（2，b+1）
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（用b表示）；
（2）雙曲線y=

k

x

過(guò)?ABCD的頂點(diǎn)B和D，求該雙曲線的表達(dá)式；
（3）如果?ABCD與雙曲線y=

4

x

（x＞0）總有公共點(diǎn)，求b的取值范圍．