【題目】（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點M．填空：

①的值為　 　；

②∠AMB的度數(shù)為　 　．

（2）類比探究

如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，連接AC交BD的延長線于點M．請判斷的值及∠AMB的度數(shù)，并說明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，將△OCD繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點M，若OD=1，OB=，請直接寫出當點C與點M重合時AC的長．

【答案】（1）①1；②40°；（2），90°；（3）AC的長為3或2．

【解析】

（1）①證明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值為1；

②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°；

（2）根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，則，由全等三角形的性質(zhì)得∠AMB的度數(shù)；

（3）正確畫圖形，當點C與點M重合時，有兩種情況：如圖3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，則∠AMB=90°，，可得AC的長．

（1）問題發(fā)現(xiàn)：

①如圖1，

∵∠AOB=∠COD=40°，

∴∠COA=∠DOB，

∵OC=OD，OA=OB，

∴△COA≌△DOB（SAS），

∴AC=BD，

∴

②∵△COA≌△DOB，

∴∠CAO=∠DBO，

∵∠AOB=40°，

∴∠OAB+∠ABO=140°，

在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°，

（2）類比探究：

如圖2，，∠AMB=90°，理由是：

Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，

∴，

同理得：，

∴，

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=∠BOD，

∴△AOC∽△BOD，

∴ ，∠CAO=∠DBO，

在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；

（3）拓展延伸：

①點C與點M重合時，如圖3，

同理得：△AOC∽△BOD，

∴∠AMB=90°，，

設BD=x，則AC=x，

Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，

∴CD=2，BC=x-2，

Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，

∴AB=2OB=2，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

(x)2+(x2)2＝(2)2，

x2-x-6=0，

（x-3）（x+2）=0，

x1=3，x2=-2，

∴AC=3；

②點C與點M重合時，如圖4，

同理得：∠AMB=90°，，

設BD=x，則AC=x，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

(x)2+（x+2）2=(2)2.

x2+x-6=0，

（x+3）（x-2）=0，

x1=-3，x2=2，

∴AC=2；.

綜上所述，AC的長為3或2．

點睛：本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，幾何變換問題，解題的關鍵是能得出：△AOC∽△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運用類比的思想解決問題，本題是一道比較好的題目．

【題型】解答題
【結(jié)束】
25

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M，求切點M的坐標；

（3）若點Q在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

請您根據(jù)圖表中提供的信息回答下列問題：

（1）統(tǒng)計表中的a＝　 　，b＝　 　；

（2）“D”對應扇形的圓心角為　 　度；

（3）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請您估計該校2000名學生中最喜歡“數(shù)學史”校本課程的人數(shù)；

（4）小明和小亮參加校本課程學習，若每人從“A”、“B”、“C”三門校本課程中隨機選取一門，請用畫樹狀圖或列表格的方法，求兩人恰好選中同一門校本課程的概率．

（1）求甲、乙兩種型號的機器人每臺的價格各是多少萬元；

（2）已知甲型和乙型機器人每臺每小時分揀快遞分別是1200件和1000件，該公司計劃購買這兩種型號的機器人共8臺，總費用不超過41萬元，并且使這8臺機器人每小時分揀快遞件數(shù)總和不少于8300件，則該公司有哪幾種購買方案？哪個方案費用最低，最低費用是多少萬元？

如圖1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點M．填空：

①的值為　 　；

②∠AMB的度數(shù)為　 　．

（2）類比探究

如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，連接AC交BD的延長線于點M．請判斷的值及∠AMB的度數(shù)，并說明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，將△OCD繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點M，若OD=1，OB=，請直接寫出當點C與點M重合時AC的長．

【題目】如圖，無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60°、45°，如果無人機距地面高度CD為米，點A、D、E在同一水平直線上，則A、B兩點間的距離是_____米．（結(jié)果保留根號）

【題目】【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)y＝ (k≠0)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的A、B兩點，與y軸交于C點，過點A作AH⊥y軸，垂足為H，OH＝3，tan∠AOH＝，點B的坐標為(m，－2)．

(1)求△AHO的周長；

(2)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）連接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半徑為，求BC的長．

A. 1B. 2C. 3D. 4

【題目】如圖，正方形OABC的頂點O與原點重合，點A，C分別在x軸與y軸的正半軸上，點A的坐標為（4，0），點D在邊AB上，且tan∠AOD＝，點E是射線OB上一動點，EF⊥x軸于點F，交射線OD于點G，過點G作GH∥x軸交AE于點H．

（1）求B，D兩點的坐標；

（2）當點E在線段OB上運動時，求∠HDA的大�。�

（3）以點G為圓心，GH的長為半徑畫⊙G．是否存在點E使⊙G與正方形OABC的對角線所在的直線相切？若不存在，請說明理由；若存在，請求出所有符合條件的點E的坐標．

如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥DC，點H是BC的中點，連結(jié)AH并延長交DC的延長線于M，則有CM＝AB．請說明理由；

（2）方法遷移

如圖②，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，E是AD上的點，且△ABE和△DEC都是等腰直角三角形，∠BAE＝∠EDC＝90°．請?zhí)骄?/span>AH與DH之間的關系，并說明理由．

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，將Rt△DEC繞點E旋轉(zhuǎn)到圖③的位置，請判斷（2）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請舉例說明．