Question

【題目】（1）方法形成

如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥DC，點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，連結(jié)AH并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于M，則有CM＝AB．請(qǐng)說明理由；

（2）方法遷移

如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，E是AD上的點(diǎn)，且△ABE和△DEC都是等腰直角三角形，∠BAE＝∠EDC＝90°．請(qǐng)?zhí)骄?/span>AH與DH之間的關(guān)系，并說明理由．

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，將Rt△DEC繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到圖③的位置，請(qǐng)判斷（2）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)舉例說明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AH⊥DH，AH＝DH，理由見解析；（3）成立，理由見解析

【解析】

（1）由AB∥CD知∠BAH=∠CMH，∠B=∠BCM，結(jié)合BH=HC證△ABH≌△MCH，從而得出答案；
（2）延長(zhǎng)AH交DC的延長(zhǎng)線于F，證△ABH≌△FCH得AB=CF，AH=HF，由等腰直角三角形知AB=AE=CF，CD=DE，從而得AD=DF，據(jù)此即可得出AH⊥DH，AH=DH；
（3）作CF∥AB交AH的延長(zhǎng)線于F，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為α，則∠AED=∠DCF=180°-α，由（1）（2）得知AH=HF，AB=AE=CF，CD=DE，據(jù)此可證△AED≌△FCD得AD=DF，∠ADE=∠FDC，∠ADF=90°，從而得出答案．

（1）∵AB∥CD，

∴∠BAH＝∠CMH，∠B＝∠BCM，

∵H是BC的中點(diǎn)，

∴BH＝HC，

∴△ABH≌△MCH（AAS），

∴AB＝CM．

（2）如圖②，延長(zhǎng)AH交DC的延長(zhǎng)線于F，

∵∠BAE＝∠EDC＝90°，

∴∠BAE+∠EDC＝180°，

∴AB∥DF，BH＝HE，

由（1）得△ABH≌△FCH（AAS）

∴AB＝CF，AH＝HF，

由等腰Rt△ABE和等腰Rt△DEC得：AB＝AE＝CF，CD＝DE，

∴AD＝DF，

∴AH⊥DH，AH＝DH．

（3）如圖③過點(diǎn)C作CF∥AB交AH的延長(zhǎng)線于F，

連接AD和DF．

設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為α，則∠AED＝∠DCF＝180°﹣α，

由（1）（2）得：AH＝HF，AB＝AE＝CF，CD＝DE，

∴△AED≌△FCD（SSS），

∴AD＝DF，∠ADE＝∠FDC，

∴∠ADF＝90°，

∴AH⊥DH，AH＝DH．