Question

7．某實(shí)心質(zhì)量均勻分布正立方體金屬塊的質(zhì)量是m，邊長(zhǎng)是a，要使該正方體以和地面接觸的一條棱為軸翻轉(zhuǎn)一次，則至少對(duì)其做功為$\frac{mga（\sqrt{2}-1）}{2}$，該過程中開始時(shí)刻推力的最小值為$\frac{\sqrt{2}mg}{4}$．

Answer 1

分析 （1）要讓與地面接觸的一條棱為軸翻轉(zhuǎn)一次，至少應(yīng)將對(duì)角線推到與地面垂直的位置，此后由于慣性和受重力作用而翻轉(zhuǎn)，推力做功等于克服正方體重力
所做的功，正方體上升的高度為重心上升的高度；
（2）推正方體時(shí)，正方體是一個(gè)變形的杠桿，要使力最小，要使力臂最長(zhǎng)，用正方體的對(duì)角線作力臂，正方體的重力的阻力，L₂是阻力臂．根據(jù)杠桿平衡條件，求出最小的力．

解答 解：（1）要讓與地面接觸的一條棱為軸翻轉(zhuǎn)一次，至少應(yīng)將對(duì)角線推到與地面垂直的位置，如左、右圖所示：

要使正方體翻轉(zhuǎn)一次，至少把正方體的重心從M點(diǎn)升高到M'點(diǎn)，
結(jié)合圖示可知：h₁=$\frac{a}{2}$，h₂=$\frac{1}{2}$×BD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{a}{2}$$\sqrt{2}$，
正方體上升的高度為重心上升的高度，
即△h=h₂-h₁=$\frac{a}{2}$$\sqrt{2}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{a（\sqrt{2}-1）}{2}$，
則至少對(duì)其做功：W=Gh=mg△h=mg×$\frac{a（\sqrt{2}-1）}{2}$=$\frac{mga（\sqrt{2}-1）}{2}$；
（2）推正方體時(shí)，正方體是一個(gè)變形的杠桿，要使力最小，要使力臂最長(zhǎng)，用正方體的對(duì)角線作動(dòng)力臂；
根據(jù)杠桿平衡條件得：F×L₁=G×L₂，
L₁是正方體的對(duì)角線，所以L₁=$\sqrt{2}$a．
則F×$\sqrt{2}$a=mg×$\frac{a}{2}$
解得F=$\frac{\sqrt{2}mg}{4}$．
故答案為：$\frac{mga（\sqrt{2}-1）}{2}$；$\frac{\sqrt{2}mg}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了杠桿的最小力的問題和功的計(jì)算，本題確定最長(zhǎng)力臂和升高的距離是關(guān)鍵，本題涉及到數(shù)學(xué)知識(shí)--勾股定理，因此解答此題要求學(xué)生應(yīng)具備一定的學(xué)科綜合能力．