如圖.已知由平行四邊形ABCD各頂點(diǎn)向形外一條直線l作垂線,設(shè)垂足分別為A′,B′,C′,D′.

(1)求證:A′A+C′C=B′B+D′D;

(2)如果移動(dòng)直線l,使它與四邊形ABCD的位置關(guān)系相對變動(dòng)得更特殊一些(如l過A,或l交AB,BC等),那么,相應(yīng)地結(jié)論會有什么變化?試作出你的猜想和證明;

(3)如果考慮直線l和平行四邊形更一般的關(guān)系(如平行四邊形變成圓,或某一中心對稱圖形,垂線AA',BB',CC',DD'只保持平行等),那么又有什么結(jié)論,試作出你的猜想和證明.

見解析

【解析】

試題分析:(1)連接AB、CD交點(diǎn)為O,利用梯形中位線定理可證.

(2)連接AB、CD交點(diǎn)為O,利用梯形中位線定理和三角形中位線定理可證.

(3)連接AB、CD交點(diǎn)為O,利用梯形中位線定理可證.

(1)證明:連接AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OE⊥l,

在平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,

則點(diǎn)O為AC、BD的中點(diǎn),

∴OE分別為梯形AA′C′C,梯形BB′D′D的中位線,

則在梯形AA′C′C中,OE=(AA′+CC′),

在梯形BB′D′D中,OE=(BB′+DD′),

∴A′A+C′C=B′B+D′D;

(2)【解析】
上述結(jié)論仍然成立.

如下圖,連接AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OE⊥l,

在平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,

則點(diǎn)O為AC、BD的中點(diǎn),

∴OE分別為梯形DD′BB′,三角形ACC′的中位線,

∴OE=(AA′+CC′),OE=(BB′+DD′),

∴A′A+C′C=B′B+D′D;

(3)【解析】
如平行四邊形變成某一中心對稱圖形時(shí),上述結(jié)論仍然成立.

如下圖,連接AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OE⊥l,

在正六邊形中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,

則點(diǎn)O為AC、BD的中點(diǎn),

∴OE分別為梯形DD′BB′,梯形AA′CC′的中位線,

∴OE=(AA′+CC′),OE=(BB′+DD′),

∴A′A+C′C=B′B+D′D.

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④一定存在某條直線,沿該直線折疊后的兩個(gè)圖形能互相重合.

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