如圖.已知由平行四邊形ABCD各頂點(diǎn)向形外一條直線l作垂線,設(shè)垂足分別為A′,B′,C′,D′.
(1)求證:A′A+C′C=B′B+D′D;
(2)如果移動(dòng)直線l,使它與四邊形ABCD的位置關(guān)系相對變動(dòng)得更特殊一些(如l過A,或l交AB,BC等),那么,相應(yīng)地結(jié)論會有什么變化?試作出你的猜想和證明;
(3)如果考慮直線l和平行四邊形更一般的關(guān)系(如平行四邊形變成圓,或某一中心對稱圖形,垂線AA',BB',CC',DD'只保持平行等),那么又有什么結(jié)論,試作出你的猜想和證明.
見解析
【解析】
試題分析:(1)連接AB、CD交點(diǎn)為O,利用梯形中位線定理可證.
(2)連接AB、CD交點(diǎn)為O,利用梯形中位線定理和三角形中位線定理可證.
(3)連接AB、CD交點(diǎn)為O,利用梯形中位線定理可證.
(1)證明:連接AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OE⊥l,
在平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,
則點(diǎn)O為AC、BD的中點(diǎn),
∴OE分別為梯形AA′C′C,梯形BB′D′D的中位線,
則在梯形AA′C′C中,OE=(AA′+CC′),
在梯形BB′D′D中,OE=(BB′+DD′),
∴A′A+C′C=B′B+D′D;
(2)【解析】
上述結(jié)論仍然成立.
如下圖,連接AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OE⊥l,
在平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,
則點(diǎn)O為AC、BD的中點(diǎn),
∴OE分別為梯形DD′BB′,三角形ACC′的中位線,
∴OE=(AA′+CC′),OE=(BB′+DD′),
∴A′A+C′C=B′B+D′D;
(3)【解析】
如平行四邊形變成某一中心對稱圖形時(shí),上述結(jié)論仍然成立.
如下圖,連接AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OE⊥l,
在正六邊形中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,
則點(diǎn)O為AC、BD的中點(diǎn),
∴OE分別為梯形DD′BB′,梯形AA′CC′的中位線,
∴OE=(AA′+CC′),OE=(BB′+DD′),
∴A′A+C′C=B′B+D′D.
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①這兩個(gè)圖形一定全等;
②對稱點(diǎn)的連線一定經(jīng)過對稱中心;
③對稱點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角;
④一定存在某條直線,沿該直線折疊后的兩個(gè)圖形能互相重合.
正確的是( )
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④
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