Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖所示，直線BC下方的拋物線上有一點P，過點p作PE⊥BC于點E，作PF平行于x軸交直線BC于點F，求△PEF周長的最大值；
（3）已知點M是拋物線的頂點，點N是y軸上一點，點Q是坐標平面內一點，若點P是拋物線上一點，且位于拋物線的對稱軸右側，是否存在以P、M、N、Q為頂點且以PM為邊的正方形？若存在，直接寫出點P的橫坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣1，0），B（3，0）兩點坐標代入拋物線y=ax2+bx﹣3，

得到 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

（2）解：如圖1中，連接PB、PC．設P（m，m2﹣2m﹣3），

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴OB=OC，

∴∠OBC=45°，

∵PF∥OB，

∴∠PFE=∠OBC=45°，

∵PE⊥BC，

∴∠PEF=90°，

∴△PEF是等腰直角三角形，

∴PE最大時，△PEF的面積中點，此時△PBC的面積最大，

則有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC= 3（﹣m2+2m+3）+ 3m﹣ =﹣ （m﹣ ）2+ ，

∴m= 時，△PBC的面積最大，此時△PEF的面積也最大，

此時P（ ，﹣ ），

∵直線BC的解析式為y=x﹣3，

∴F（﹣ ，﹣ ），

∴PF= ，

∵△PEF是等腰直角三角形，

∴EF=EP= ，

∴C△PEF最大值= + ．

（3）解：①如圖2中，

當N與C重合時，點N關于對稱軸的對稱點P，此時思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．點P橫坐標為2，

②如圖3中，當四邊形PMQN是正方形時，作PF⊥y軸于N，ME∥x軸，PE∥y軸．

易知△PFN≌△PEM，

∴PF=PE，設P（m，m2﹣2m﹣3），

∵M（1，﹣4），

∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），

∴m= 或 （舍棄），

∴P點橫坐標為

所以滿足條件的點P的橫坐標為2或 ．

【解析】分析：（1）把A，B兩點坐標代入拋物線，即可求出此函數解析式。
（2）由B（3，0），C（0，﹣3）兩點坐標，可得出△OBC是等腰直角三角形，根據已知PE⊥BC，PF∥x軸，可證得△PEF是等腰直角三角形，則PE最大時，△PEF的面積中點，此時△PBC的面積最大，求出S△PBC與m的函數關系式，求出其頂點坐標，即可得到△PBC的面積最大時m的值，再求出直線BC的解析式，即可求得點F的坐標，求出PF、EF、EP的長，即可△PEF周長的最大值。
（3）①當N與C重合時，點N關于對稱軸的對稱點P，此時思想MNQP是正方形，易知P點坐標；②當四邊形PMQN是正方形時，作PF⊥y軸于N，ME∥x軸，PE∥y軸．易知△PFN≌△PEM，得到F=PE，建立方程，求解即可得到滿足條件的點P的橫坐標。
【考點精析】本題主要考查了二次函數的最值和軸對稱的性質的相關知識點，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線；兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上才能正確解答此題．