Question

6．為了保護(hù)環(huán)境，治理水土流失．成都七中環(huán)保興趣小組進(jìn)行了河水含沙量的模擬研究．他們在一個量筒里放入一定量干燥的“沙土”，再倒入一定量清水，并調(diào)整加入清水量以配制成不同密度的泥沙水．經(jīng)過測量，他們畫出了泥沙水的密度ρ_泥水與含沙量x，（即每立方米泥沙水中所含泥沙的質(zhì)量）的圖象，驚喜的發(fā)現(xiàn)此圖象為一條直線．他們經(jīng)過努力，用所學(xué)知識證明了泥沙水密度與含沙量為一次函數(shù)關(guān)系，其關(guān)系式為：ρ_泥水=ρ_水+kx，其中k=1-$\frac{{ρ}_{水}}{{ρ}_{沙}}$（k＞0是常數(shù)）
（1）請你推導(dǎo)出泥沙水的密度ρ_泥水和含沙量x之間的關(guān)系式．
（2）在某次山洪沖刷地面時，他們測定了洪水中的含沙量：他們共采集了40L的水樣．稱得其總質(zhì)量為40.56kg．己知干燥的泥沙的密度ρ_沙=2.4×10³kg/m³．求：洪水中的平均含沙量是多少？

Answer 1

分析 （1）設(shè)含沙量為x，則體積為V的泥沙水中，沙的質(zhì)量為xV，利用密度公式求沙的體積，進(jìn)而得出水的體積、水的質(zhì)量，可求水與沙的總質(zhì)量，從而得出泥沙水的密度（泥沙水的密度與含沙量x的關(guān)系式）；
（2）由題知沙石的密度、水的密度，利用密度公式求出泥水的密度，代入ρ_泥水=ρ_水+kx求x的大�。�

解答 解：（1）設(shè)含沙量為x，則體積為V的泥沙水中，沙的質(zhì)量為m_沙=xV，
由密度公式ρ=$\frac{m}{V}$可知：沙的體積為V_沙=$\frac{{m}_{沙}}{{ρ}_{沙}}$=$\frac{xV}{{ρ}_{沙}}$，
水的體積為：V_水=V-V_沙=V-$\frac{xV}{{ρ}_{沙}}$=V（1-$\frac{x}{{ρ}_{沙}}$），
水的質(zhì)量為：m_水=ρ_水V_水=ρ_水V（1-$\frac{x}{{ρ}_{沙}}$），
水與沙的總質(zhì)量為：m=m_水+m_沙=ρ_水V（1-$\frac{x}{{ρ}_{沙}}$）+xV，
泥沙水的密度：ρ_泥水=$\frac{m}{V}$=$\frac{{ρ}_{水}V（1-\frac{x}{{ρ}_{沙}}）+xV}{V}$=ρ_水（1-$\frac{x}{{ρ}_{沙}}$）+x=ρ_水+x-$\frac{{ρ}_{水}}{{ρ}_{沙}}$x=ρ_水+（1-$\frac{{ρ}_{水}}{{ρ}_{沙}}$）x，
設(shè)k=1-$\frac{{ρ}_{水}}{{ρ}_{沙}}$，則ρ_泥水=ρ_水+kx；
（2）由題知，泥水的密度：
ρ_泥水=$\frac{{m}_{泥水}}{{V}_{泥水}}$=$\frac{40.56kg}{40×{10}^{-3}{m}^{3}}$=1.014×10³kg/m³      
由于$\frac{{ρ}_{水}}{{ρ}_{沙}}$=$\frac{1.0×{10}^{3}kg/{m}^{3}}{2.4×{10}^{3}kg/{m}^{3}}$≈0.417，
則，k=1-$\frac{{ρ}_{水}}{{ρ}_{沙}}$=1-0.417=0.583，
根據(jù)ρ_泥水=ρ_水+kx可得：
x=$\frac{{ρ}_{泥水}-{ρ}_{水}}{k}$=$\frac{1.014×{10}^{3}kg/{m}^{3}-1.0×{10}^{3}kg/{m}^{3}}{0.583}$=24kg/m³，
答：（1）泥沙水的密度隨含沙量x變化圖象如圖所示；
（2）洪水中的平均含沙量為24kg/m³．

點評 本題考查了學(xué)生對密度公式的掌握和運用，涉及到求混合物的密度，屬于難題！