Question

13．某同學(xué)用一根兩端封閉的裝有少量水銀圓柱形玻璃管來制作密度計(jì)，它的長度為L，外直徑為d，管壁及上下兩端的厚度均為h，總重量為G．
（1）請你證明密度計(jì)的刻度是不均勻的（可用設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案的方法，也可用理論推導(dǎo)的方法．）
（2）若L=20×10^-2米，d=1.2×10^-2米，h=0.1×lO^-2米，并在管的下部裝有1×lO^-6米³的水銀．問用這樣的密度計(jì)所能測出的最小的液體密度是多大？（玻璃的密度為2.6×10³千克/米³，水銀的密度為13.6×10³千克/米³）

Answer 1

分析 （1）知道密度計(jì)的使用原理：密度計(jì)在使用時(shí)始終處于漂浮狀態(tài)，即浮力大小等于重力大小，浮力不變．
求密度計(jì)在純水中浸沒的深度；
設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案：取三種已知密度的液體，再用刻度尺量出任兩個(gè)刻度間的長度△L₁和△L₂，然后將它們進(jìn)行比較．
理論推導(dǎo)：利用密度計(jì)的浮力等于重力，求出排開液體體積的大小，再根據(jù)求出的體積，得出h的表達(dá)式，然后將它們進(jìn)行比較．然后分析即可得出在其它因素均不變的情況下，密度越小，深度越大．
（2）求出密度計(jì)玻璃材料的體積，當(dāng)密度計(jì)上部的圓柱形玻璃管全部浸沒液面下，所測液體密度值為最小，再利用物體的漂浮條件和阿基米德原理求解．

解答 （1）證明：
若用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證：
先取三種已知密度的液體，將所要制作的密度計(jì)的圓柱體材料依次放入這三種液體中平衡時(shí)在此圓柱上對應(yīng)刻上這三個(gè)刻度ρ1、ρ2、P3．再用刻度尺量出任兩個(gè)刻度間的長度△L₁和△L₂，然后將它們進(jìn)行比較．若有長度差之比等于密度差，則密度計(jì)刻度是均勻的，如不相等則是不均勻．
理論推導(dǎo)：
由于密度計(jì)的原理是運(yùn)用漂浮在液面上的物體其所受到的物體的浮力等于物體的重力：
則有：V_排液=Sh，F(xiàn)_浮液=G，
即ρ_液gV_排液=G，
所以，ρ_液gSh=mg，
則h=$\frac{m}{{ρ}_{液}S}$----------①
由此可知：用浸入液體的深度h可以間接表示液體的密度，故可將h作為刻度．若刻度要是均勻，則h與被測液體密度ρ_液ρ應(yīng)成一次函數(shù)關(guān)系．從①可知h與ρ_液成反比，所以，密度計(jì)刻度是不均勻的．
（2）解：
密度計(jì)玻璃材料的體積為：
V_玻璃=$\frac{1}{4}$πd²L-$\frac{1}{4}$π（d-h）²（L-2h）=$\frac{1}{4}$×3.14×（1.2×10^-2m）²×20×10^-2m-$\frac{1}{4}$×3.14×（1.2×10^-2m-0.1×10^-2m）²×（20×10^-2m-2×0.1×10^-2m）=7.065×10^-6m²，
玻璃材料的重力為：G_玻璃=m_玻璃g=ρ_玻璃V_玻璃g=2.6×10³kg/m³×7.065×10^-6m²×9.8N/kg≈O．18N，
水銀的重力為：G_水銀=m_水銀g=ρ_水銀V_水銀g=13.6×10³kg/m³×1×10^-6m²×9.8N/kg≈O．133N，
此密度計(jì)的總重量為：G=G_水銀+G_玻=O．133N+O．18N=0.313N，
此密度計(jì)的總體積為：V=S（L+h）=$\frac{1}{4}$πd²L=$\frac{1}{4}$×3.14×（1.2×10^-2m）²×20×10^-2m=2.2608×10^-5m²，
當(dāng)將此密度計(jì)剛好全部沉人某液體中并達(dá)到平衡時(shí)，V_排=V，其所受浮力為F_浮=G=0.313N，
由F_浮=ρ_液V_排g得：
ρ_液=$\frac{{F}_{浮}}{Vg}$=$\frac{0.313N}{2.2608×1{0}^{-5}{m}^{3}×9.8N/kg}$≈1.4×10³kg/m³；
即為此密度計(jì)所能測出液體的最小密度是1.4×10³kg/m³．
答：用這樣的密度計(jì)所能測出的最小的液體密度是1.4×10³kg/m³．

點(diǎn)評 本題考查了液體密度的測量，涉及到物體浮沉條件、阿基米德原理等，會根據(jù)表達(dá)式得出判斷可得是否均勻是關(guān)鍵．