4.一個薄壁圓柱形容器放在水平桌面上,如圖1所示,容器中立放著一個均勻?qū)嵭膱A柱體A,現(xiàn)慢慢向容器中加水(已知水的密度為ρ),加入的水對容器底部的壓強p與所加水的質(zhì)量m的關系圖象如圖3所示,容器足夠高,在整個過程中無水溢出,A的底面始終與容器中的水面平行,當加入水的質(zhì)量為m1時,圓柱體A露出水面的高度為h0,如圖2所示.求:
(1)圓柱體的高度;
(2)圓柱體的密度;
(3)薄壁圓柱形容器的底面積.

分析 (1)當加入水的質(zhì)量為m1時,圓柱體A露出水面的高度為h0,由圖讀出此時水的壓強,利用p=ρgh求出水的深度,則可求出圓柱體的高度;
(2)根據(jù)圖象可知,加入水的質(zhì)量為m1后,水對容器底部的壓強增大得更緩慢一些,說明加入水的質(zhì)量為m1時圓柱體剛好處于漂浮狀態(tài),利用漂浮條件和阿基米德原理列出等式可求出圓柱體的密度;
(3)由圖象可知,加入水的質(zhì)量為m1與m2時對應水的壓強分別為p1、p2,根據(jù)該過程中壓強的變化量、所加水的質(zhì)量變化量,利用△p=$\frac{△F}{S}$=$\frac{△{G}_{水}}{S}$求出容器的底面積.

解答 解:(1)由圖3可知,當加入水的質(zhì)量為m1時,水對容器底部的壓強為p1,
由p=ρgh可得,此時水的深度:h1=$\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}$------------①
由題知,此時圓柱體A露出水面的高度為h0,
則圓柱體的高度:hA=h1+h0=$\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}$+h0------------②
(2)根據(jù)圖3可知,加入水的質(zhì)量大于m1時,水對容器底部的壓強增大得更緩慢一些,說明加入水的質(zhì)量為m1時圓柱體剛好處于漂浮狀態(tài),此后繼續(xù)加水,圓柱體緩慢上升;
圓柱體剛好漂浮時,由漂浮條件可得:F=GA,
結(jié)合阿基米德原理可得:ρgVAVAg,
則ρgSAh1ASAhAg,
所以ρA=$\frac{{h}_{1}}{{h}_{A}}$ρ------------③
將①②代入③可得:
ρA=$\frac{{h}_{1}}{{h}_{A}}$ρ=$\frac{\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}}{\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}+{h}_{0}}$•ρ=$\frac{{p}_{1}}{{p}_{1}+{ρ}_{水}g{h}_{0}}$•ρ;
(3)由圖3可知,加入水的質(zhì)量為m1與m2時對應水的壓強分別為p1、p2,
則該過程中水的質(zhì)量變化量為△m=m2-m1,水的壓強變化量為△p=p2-p1,
因圓柱體在該過程中處于漂浮狀態(tài),由壓強定義式可得△p=$\frac{△F}{S}$,
所以,圓柱形容器的底面積:
S=$\frac{△F}{△p}$=$\frac{△{G}_{水}}{△p}$=$\frac{△mg}{△p}$=$\frac{({m}_{2}-{m}_{1})g}{{p}_{2}-{p}_{1}}$.
答:(1)圓柱體的高度為$\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}$+h0
(2)圓柱體的密度為$\frac{{p}_{1}}{{p}_{1}+{ρ}_{水}g{h}_{0}}$•ρ;
(3)薄壁圓柱形容器的底面積為$\frac{({m}_{2}-{m}_{1})g}{{p}_{2}-{p}_{1}}$.

點評 本題綜合考查了液體壓強公式、阿基米德原理、密度公式、壓強定義式和漂浮條件的應用,關鍵是根據(jù)圖象判斷得出水的質(zhì)量為m1時圓柱體剛好處于漂浮狀態(tài),難點是根據(jù)水的壓強增加量和加水的質(zhì)量變化量求出容器的底面積.

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