Question

9．如圖所示，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，AC=AB，CO交⊙O于點(diǎn)P，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F，BP的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AB}$；
（2）若⊙O的直徑AB=1，求tan∠CPE的值．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理，可得∠PAC=∠F，進(jìn)而可得△APC∽△FAC，結(jié)合AC=AB，和相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可證得：$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AB}$．
（2）若⊙O的直徑AB=1，由切割線定理可得PC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，進(jìn)而根據(jù)FA∥BE，即∠CPE=∠F，解Rt△FAP可得答案．

解答 證明：（1）∵AC切⊙O于點(diǎn)A，PA是弦，
∴∠PAC=∠F，
∵∠C=∠C，
∴△APC∽△FAC，
∴$\frac{AP}{FA}=\frac{PC}{AC}$，
∵AC=AB，
∴$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AB}$．
解：（2）∵AC切⊙O于點(diǎn)A，CPF為⊙O的割線，
則有AC²=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AC=AB=1，
∴PC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∵FA∥BE，
∴∠CPE=∠F，
∵FP為⊙O的直徑，
∴∠FAP=90°，
由（1）中證得$\frac{AP}{FA}=\frac{PC}{AC}$，
在Rt△FAP中，tan∠F=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∴tan∠CPE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)弦切角定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，切割線定理，難度中檔．