Question

17．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=AC=2，AA₁=3，點M是B₁C₁的中點．
（1）求證：AB₁∥平面A₁MC；
（2）求點B到平面A₁MC的距離．

Answer 1

分析 （1）建立如圖所示的坐標系，求出平面A₁MC的法向量，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，證明$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}$=0，可得AB₁∥平面A₁MC；
（2）求出$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（（-2，-3，0），利用向量的方法求出點B到平面A₁MC的距離．

解答 （1）證明：由題意，建立如圖所示的坐標系，則
A（1，0，0），B₁（-1，3，0），A₁（1，3，0），M（-$\frac{1}{2}$，3，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（0，0，$\sqrt{3}$）
設平面A₁MC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
∵$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，-3，$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{-x-3y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{2}{3}$，$\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-2，3，0），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}$=0，
∴AB₁∥平面A₁MC；
（2）解：∵$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（（-2，-3，0）
∴點B到平面A₁MC的距離$\frac{|-2-2|}{\sqrt{1+\frac{4}{9}+3}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的判定定理和點B到平面A₁MC的距離，體現了轉化的思想．屬于中檔題．