Question

18．如圖，已知拋物線C₁：y²=4x的焦點為F，橢圓C₂的中心在原點，F(xiàn)為其右焦點，點M為曲線C₁和C₂在第一象限的交點，且|$\overrightarrow{MF}$|=$\frac{5}{2}$．
（1）求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A，B為拋物線C₁上的兩個動點，且使得線段AB的中點D在直線y=x上，P（3，2）為定點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意求出c、a和b²的值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出點D（m，m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意求出直線AB的斜率與方程，與拋物線方程聯(lián)立成方程組，消去x，求出|AB|及點P到直線AB的距離d，寫出S_△PAB的表達(dá)式，求出它的最小值即可．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），半焦距為c；
由已知，點F（1，0），則c=1；…（1分）
設(shè)點M（x₀，y₀），（x₀、y₀＞0），
根據(jù)拋物線的定義，得|MF|=x₀+1；
由已知，x₀+1=$\frac{5}{2}$，則x₀=$\frac{3}{2}$；從而y₀=$\sqrt{{4x}_{0}}$=$\sqrt{6}$，
所以點M（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$）；…（2分）
設(shè)點E為橢圓的左焦點，則E（-1，0），|ME|=$\sqrt{{（\frac{3}{2}+1）}^{2}+6}$=$\frac{7}{2}$；
根據(jù)橢圓的定義，得2a=|ME|+|MF|=$\frac{7}{2}$+$\frac{5}{2}$=6，則a=3；…（4分）
從而b²=a²-c²=8，
所以橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；…（5分）
（2）設(shè)點D（m，m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${{y}_{1}}^{2}$=4x₁①，${{y}_{2}}^{2}$=4x₂②，
兩式相減，得${{y}_{1}}^{2}$-${{y}_{2}}^{2}$=4（x₁-x₂），
即$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}{+y}_{2}}$；
因為D為線段AB的中點，則y₁+y₂=2m，
所以直線AB的斜率為k=$\frac{4}{{y}_{1}{+y}_{2}}$=$\frac{4}{2m}$=$\frac{2}{m}$，
從而直線AB的方程為y-m=$\frac{2}{m}$（x-m），即2x-my+m²-2m=0；
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x-my{+m}^{2}-2m=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
消去x得y²-2my+2m²-4m=0，則y₁y₂=2m²-4m；
所以|AB|=|y₁-y₂•|$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{{{（y}_{1}{+y}_{2}）}^{2}-{{4y}_{1}y}_{2}}$•$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{4}}$=$\sqrt{4m{-m}^{2}}$•$\sqrt{{m}^{2}+4}$；
設(shè)點P到直線AB的距離為d，則d=$\frac{|6-4m{+m}^{2}|}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$；
所以S_△PAB=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4m{-m}^{2}}$•|6-4m+m²|；
由4m-m²＞0，得0＜m＜4，
令$\sqrt{4m{-m}^{2}}$=t，則S_△PAB=$\frac{t|6{-t}^{2}|}{2}$=3t-$\frac{1}{2}$t³（0＜t≤2）；
設(shè)f（t）=3t-$\frac{1}{2}$t³（0＜t≤2），則f′（t）=3-$\frac{3}{2}$t²，
由f′（t）＞0，得0＜t＜$\sqrt{2}$，
則f（t）在（0，$\sqrt{2}$）上是單調(diào)增函數(shù)，在（$\sqrt{2}$，2上是單調(diào)減函數(shù)，
所以f（t）_min=2$\sqrt{2}$，即△PAB面積的最大值是2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線與橢圓、拋物線的綜合應(yīng)用問題，也考查了方程與函數(shù)的綜合應(yīng)用問題以及求函數(shù)最值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．