Question

20．在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，
（1）求證：BD⊥平面SAC；
（2）求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的判定定理即可證明先證BD⊥面SAC，
（2）根據(jù)二面角的平面角的定義得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用Rt△SAC與Rt△EDC相似求出∠EDC即可．

解答 證明：（1）由于SB=BC，且E是SC的中點(diǎn)，因此BE是等腰三角形SBC的底邊SC的中線，所以SC⊥BE．
又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，
∴SC⊥面BDE，
∴SC⊥BD．
又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，
∴SA⊥BD．
而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC．
（2）∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC．
∴∠EDC是所求的二面角的平面角．
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．
設(shè)SA=a，則AB=a，BC=SB=$\sqrt{2}$a
∵AB⊥BC，∴AC=$\sqrt{3}a$，在Rt△SAC中tan∠ACS=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴∠ACS=30°．
又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系以及二面角的求解，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，利用二面角的定義找出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．．