Question

16．已知A（1，0），曲線C：y=e^ax恒過點B，若P是曲線C上的動點，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$的最小值為2，則a的值為（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可得B（0，1），$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$取得最小時，P，B重合，可得曲線C：y=e^ax在點B（0，1）處的切線與$\overrightarrow{AB}$垂直，即y′|_x=0=1，由此求得a的值

解答 解：因為 e⁰=1所以B（0，1）．
考察$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$的幾何意義，因為$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{2}$，
故$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$取得最小時，$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AB}$上的投影長應(yīng)是$\sqrt{2}$，所以P，B重合．
這說明曲線C：y=e^ax在點B（0，1）處的切線與$\overrightarrow{AB}$垂直，
所以y′|_x=0=1，即 a•e⁰=1，∴a=1，
故選：C

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題