Question

7．設(shè)a=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx，則二項(xiàng)式（ax-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是60．

Answer 1

分析 求定積分可得a的值，在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：a=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx=（sinx-cosx）${|}_{0}^{π}$=2，
則二項(xiàng)式（ax-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶ =（2x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶ ，
它的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•2^6-r•${x}^{6-\frac{3r}{2}}$．
令6-$\frac{3r}{2}$=0，求得r=4，
可得展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是${C}_{6}^{4}$•2²=60，
故答案為：60．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求定積分，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．