Question

已知：

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），f（x）=2

a

•

b

（x∈R）．
（1）求f（x）關(guān)于x的表達(dá)式，并求f（x）的最小正周期；
（2）已知g（x）=f（x）+2m-1，若x∈[0，

π

2

]時(shí)，g（x）的最小值為5，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式和二倍角公式，兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)f（x），再由周期公式，即可得到；
（2）由x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

即x=

π

2

時(shí)，g（x）的最小值為2m-1，由條件即可求得m．

解答： 解：（1）由于

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），
則f（x）=2

a

•

b

=2

3

sinxcosx+2cos²x
=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
則f（x）的最小正周期為T(mén)=

2π

2

=π；
（2）g（x）=f（x）+2m-1=2sin（2x+

π

6

）+2m，
x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

即x=

π

2

時(shí)，g（x）的最小值為2m-1，
即有2m-1=5，
解得m=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求最值，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，以及二倍角公式及兩角和的正弦公式的運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的周期和單調(diào)性及運(yùn)用，屬于中檔題．