Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+a+2，
（1）若f（x）≤0的解集A⊆[0，3]，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若g（x）=f（x）+|x²-1|在區(qū)間（0，3）內(nèi)有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：計算題,選作題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）討論集合A是否是空集，從而求解，
（2）g（x）=x²-2ax+a+2+|x²-1|=

2x2-2ax+a+1，|x|≥1 -2ax+a+3，|x|＜1

，首先討論a是否是0，在a≠0時，討論函數(shù)的零點的位置，從而確定實數(shù)a所滿足的條件，從而求其范圍．

解答： 解：（1）若A=ϕ，則△=4a²-4（a+2）=4（a-2）（a+1）＜0⇒-1＜a＜2，
若A≠ϕ，則

△≥0 0＜a＜3 f(0)≥0 f(3)≥0

⇒

a≤-1或a≥2 0＜a＜3 a+2≥0 9-6a+a+2≥0

⇒2≤a≤

11

5

．
綜上可得：-1＜a≤

11

5

．
（2）g（x）=x²-2ax+a+2+|x²-1|=

2x2-2ax+a+1，|x|≥1 -2ax+a+3，|x|＜1

．
若a=0，則g（x）=

2x2+1，|x|≥1 3，|x|＜1

，無零點；
若a≠0，則-2ax+a+3在（0，1）單調(diào)，
∴其在（0，1）內(nèi)至多有一個零點．
①若0＜x₁＜1≤x₂＜3，
則

3(-a+3)＜0 (3-a)(19-5a)≤0

，
解得，3＜a≤

19

5

，
經(jīng)檢驗，a=

19

5

時不成立，
②若1≤x₁＜x₂＜3，
由

△=4a2-8(a+1)＞0 1＜ a 2 ＜3 3-a≥0 19-5a＞0

，
解得，1+

3

＜a≤3，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（1+

3

，

19

5

）．

點評：本題考查了函數(shù)的零點的問題，數(shù)學(xué)討論的思想，討論比較復(fù)雜，要注意細心，屬于難題．