Question

17．某校舉行“慶元旦”教工羽毛球單循環(huán)比賽（任意兩個(gè)參賽隊(duì)只比賽一場），共有高一、高二、高三三個(gè)隊(duì)參賽，高一勝高二的概率為$\frac{1}{2}$，高一勝高三的概率為$\frac{2}{3}$，高二勝高三的概率為P，每場勝負(fù)獨(dú)立，勝者記1分，負(fù)者記0分，規(guī)定：積分相同者高年級獲勝．
（Ⅰ）若高三獲得冠軍概率為$\frac{1}{3}$，求P．
（Ⅱ）記高三的得分為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得到高三獲得冠軍的所有情況，然后利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式求出概率，由概率為$\frac{1}{3}$求得p值；
（Ⅱ）寫出高三的得分為X的所有取值，求出相應(yīng)的概率，則分布列及期望可求．

解答 解：（Ⅰ）高三獲得冠軍有兩種情況，高三勝兩場，三個(gè)隊(duì)各勝一場．
高三勝兩場的概率為$\frac{1}{3}×（1-p）$，
三個(gè)隊(duì)各勝一場的概率為$\frac{1}{3}×p×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×（1-p）×\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}（1-p）+\frac{1}{3}p×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}（1-p）×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$．
解得：$p=\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）高三的得分X的所有可能取值有0、1、2，
P（X=0）=$\frac{2p}{3}$，P（X=1）=$\frac{2-p}{3}$，P（X=2）=$\frac{1-p}{3}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{2p}{3}$	$\frac{2-p}{3}$	$\frac{1-p}{3}$

故X的期望E（X）=$0×\frac{2p}{3}+1×\frac{2-p}{3}+2×\frac{1-p}{3}=\frac{4-3p}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查了相互獨(dú)立事件及其概率計(jì)算公式，是中檔題．