Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax-a²x²（a≥0）．
（1）若x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若f（x）＜0在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，即可求a的值；
（2）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，結(jié)合函數(shù)的定義域，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出最大值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=$\frac{-2{a}^{2}{x}^{2}+ax+1}{x}$
因?yàn)閤=1是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，所以f′（1）=1+a-2a²=0，解得a=-$\frac{1}{2}$或a=1，
因?yàn)閍＞0，所以a=1；
（2）若a=0，f（x）=lnx＜0在定義域內(nèi)不恒成立；
若a≠0，則a＞0，f′（x）=$\frac{1}{x}$+a-2a²x=$\frac{1+ax-2{a}^{2}{x}^{2}}{x}$=$\frac{（2ax+1）（-ax+1）}{x}$．
由f′（x）＞0，結(jié)合函數(shù)的定義域，可得0＜x＜$\frac{1}{2a}$；由f′（x）＜0，結(jié)合函數(shù)的定義域，可得x＞$\frac{1}{2a}$；
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2a}$）；單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{2a}$，+∞）．
∴x=$\frac{1}{2a}$時取得最大值f（$\frac{1}{2a}$），
∴l(xiāng)n$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{4}$＜0，
∴a＞$\frac{{e}^{\frac{1}{4}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)，合理分類是關(guān)鍵．