Question

2．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為（$\frac{π}{3}$，0）和（$\frac{5}{6}$π，0），其部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)y=f（x）的初相、相位、振幅；
（2）函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化可得到y(tǒng)=f（x）的圖象？
（3）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，4π]內(nèi)的所有實數(shù)根之和．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．
（3）由條件根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱性，數(shù)形結(jié)合求得方程f（x）=a（0＜a＜1）在[0，4π]內(nèi)的所有實數(shù)根之和．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的圖象，可得A=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$，
求得ω=2．
再根據(jù)五點法作圖可得2×$\frac{π}{3}$+φ=0，k∈z，求得φ=-$\frac{2π}{3}$，∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{2π}{3}$），
故函數(shù)y=f（x）的初相為-$\frac{2π}{3}$；相位為2x-$\frac{2π}{3}$；振幅為$\sqrt{3}$．
（2）把函數(shù)y=sinx的圖象向右平移$\frac{2π}{3}$個單位，可得y=sin（x-$\frac{2π}{3}$）的圖象；再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍，可得y=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）的圖象；
再把縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\sqrt{3}$倍，可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{2π}{3}$）的圖象．
（3）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（0＜a＜1）在[0，4π]內(nèi)的實數(shù)根，即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a的交點的橫坐標(biāo)．
由x∈[0，4π]，可得2x-$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{22π}{3}$]，
再根據(jù)f（x）的圖象的對稱性可得方程f（x）=a（0＜a＜1）在[0，4π]內(nèi)的所有實數(shù)根共有8個，
設(shè)這8個實數(shù)根從小到大分別為a′、b、c、d、e、f、g、h，如圖所示，
則由正弦函數(shù)的圖象的對稱性可得a′+b=2×$\frac{π}{2}$=π，c+d=2×$\frac{5π}{2}$=5π，e+f=2×$\frac{9π}{2}$=9π，g+h=2×$\frac{13π}{2}$=13π，
如圖：令t=2x-$\frac{2π}{3}$，f（t）=$\sqrt{3}$sint，的圖象（圖中紅色曲線），直線y=a（圖中藍(lán)色直線）．

故a′+b+c+d+e+f+g+h=π+5π+9π+13π=28π．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．